北京市汇文中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

北京汇文中学教育集团2023—2024学年度第一学期期中考试 高三年级数学学科 本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 的虚部是2 B. C. 的共轭复数是 D. 在复平面内对应的点在第二象限 3. 已知点是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则的最小值（ ） A. B. C. D. 9. 布达佩斯伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.如图3中每个正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 设函数，给出下列四个结论：①当时，函数有三个极值点；②当时，函数有三个极值点；③是函数的极小值点；④不是函数的极大值点.其中，所有正确结论的序号是（ ） A ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题（每题5分，共25分） 11. 首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比______. 12. 若函数为偶函数，则______，的最小值为______. 13. 已知正四棱锥，底面边长为2，体积为，则这个四棱锥的侧棱长为______. 14. 已知数列满足，，，.则集合中元素的个数为______. 15. 已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，（，），则______，______. 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，． （1）求的大小； （2）以下三组条件中恰有一组条件使得三角形存在且唯一确定，请选出该组条件并求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 注：条件选择错误，第（2）问得0分． 17. 如图，已知平面平面，四边形是矩形，，点，分别是，的中点. （1）若点线段中点，求证：平面； （2）求证：平面. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处切线方程； （2）求的单调区间； （3）若对于任意，都有，求实数的取值范围. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的正弦值； （3）是否存在点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 20. 已知函数. （1）求证：函数在区间上为单调递增函数； （2）若函数在上的最大值在区间内，求整数的值. 21. 已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”. （1）若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求； （2）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是； （3）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，….求证：是等差数列. 北京汇文中学教育集团2023—2024学年度第一学期期中考试 高三年级数学学科 本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟 一、选择题（每题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（每题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】2 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】24 【15题答案】 【答案】 ①. 3 ②. 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【16题答案】 【答案】（1） （2）选择条件②，三角形面积 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【18题答案】 【