精品解析：浙江省杭州市西湖区杭师大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题

杭师大附中2023学年第一学期高二年级期中考试 高二数学试卷 本试题满分150分，考试时间120分钟 一．单项选择（共8题，每小题5分；满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则点P到直线y＝kx－1的距离不可能是（ ） A 4 B. 6 C. 3＋1 D. 8 4. 某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（ ） A. 中位数是3，众数是2 B. 平均数是3，中位数是2 C. 方差是 ，平均数是2 D. 平均数是3，众数是2 5. 已知椭圆（）的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆交于两点，且满足，若为直线上任意一点，为坐标原点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知点，若圆O：上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（ ） A. B. C D. 7. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于两点，以为直径的圆与轴交于两点，且，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 已知圆C的方程为，直线的方程为，下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相交 C. 直线被圆所截最短弦长为 D. 存在一个实数，使直线经过圆心 10. 甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ） A. 事件、是相互独立事件 B. 事件、是互斥事件 C. D. 11. 直线l与抛物线相交于，，若，则（ ） A. 直线l斜率为定值 B. 直线l经过定点 C. 面积最小值为4 D. 12. 在棱长为1的正方体中，点M是的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内（包括边界），平面，，点R到平面的距离等于它到点D的距离，则（ ） A. 点P轨迹的长度为 B. 点Q的轨迹的长度为 C. PQ长度的最小值为 D. PR长度的最小值为 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．） 13. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为和，则密码被成功破译的概率为________． 14. 已知空间内三点，，，则点A到直线距离是___________ 15. ，是椭圆C的两个焦点，点P是椭圆C上异于顶点的一点，点I是 的内切圆圆心，若 的面积是 的面积的4倍，则椭圆C的离心率为______． 16. 已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上且在轴上方，若线段的中点在以为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为______． 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切． （1）求圆的标准方程； （2）过点作直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程． 18. 如图，在三棱锥中，平面，点分别是和的中点，设，直线与直线所成的角为 （1）求的长； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境．2019年下半年以来，全国各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例．某部门在某小区年龄处于岁的人中随机地抽取人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据． 组数 分组 “环保族”人数 占本组的频率 第一组 45 0.75 第二组 25 第三组 20 0.5 第四组 0.2 第五组 3 0.1 （1）求的值； （2）根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）； （3）从年龄