精品解析：江苏省南京市鼓楼区南京师大附中2023-2024学年高一上学期期中数学试题

南京师大附中2023-2024学年度第1学期 高一年级期中考试数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 函数的增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数的定义域为，且，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知二次函数的图像与轴交于两点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当很大时，其中称为欧拉—马歇罗尼常数，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在很大时才成立，故当较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定的误差的，已知，用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（ ） A. 0.03 B. 0.12 C. 0.17 D. 0.21 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知互不相同的实数，满足，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 9. 下列各个选项中，满足的集合有（ ） A. B. C. D. 10. 下列四组函数中，与（或）表示同一函数的有（ ） A. B. C. D. 11. 下列各个选项中，是的充分不必要条件的有（ ） A. 在中，是钝角，是钝角三角形 B. 均为无理数，为无理数 C. D. 12. 当时，用表示不超过的最大整数，如：．已知函数，则（ ） A. B. 函数的值域为 C. 存在无数多个，有 D. 存在无限实数集，对于，当时，有 三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知，则______． 14. 若函数在区间上有两个不同零点，则实数的取值范围是____________． 15. 已知函数，若存在非零实数，使得，则实数取值范围是______． 16. 已知，则最小值为______． 四．解答题（本大题共6小题，共70分．） 17. 计算： （1）： （2）． 18. 设函数 （1）利用函数单调性的定义，证明：函数在上单调递增： （2）当时，求函数的最大值． 19. 南京马拉松作为江苏省的省会马拉松赛，创办于2015年，六年的时间它已成为中国马拉松金牌赛事世界田联标牌赛事，有穿越中华门、玄武湖、总统府等经典景点的比赛路线，为了迎接2023年11月南京马拉松赛的回归，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为两个全等的直角三角形和一个等腰三角形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度也都是），． （1）当时，求海报纸（矩形）的周长： （2）为了节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 20 设甲：，乙：． （1）当时，求甲中不等式的解集； （2）若甲是乙的必要不充分条件，求的取值范围． 21. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递减． （1）证明：函数偶函数； （2）解关于的不等式． 22. 设． （1）若对于，且，都有成立，求的取值范围； （2）若关于的方程有实根，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京师大附中2023-2024学年度第1学期 高一年级期中考试数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合B的描述，及集合A中元素，应用交运算写出. 【详解】对于集合B，由时，由时． 此外的取值都不在集合A内，均不满足交集结果． 所以. 故选：D 2. 函数的增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式，求得函数的定义域，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 详解】由不等式，即，解得或， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增， 根据复数函数的单调性，可得函数的增区间为. 故选：A. 3. 若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特称命题的真假计算参数即可. 【详解】由题意可知=“，使得”成立，即方程有实数解， 所以. 故选：D 4. 已知幂函数的定义域为，且，则的值为（