精品解析：湖南省常德市武陵区常德市一中2023-2024学年高二上学期期中数学试题

常德市一中2023年下学期高二年级期中考试试卷 数学 （时量：120分钟 满分：150分 命题人： ） 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 设，，与垂直，则等于（ ） A. 6 B. 14 C. D. 3. 已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 4. 设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）． A. B. C. D. 5. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 10 6. 过点的直线与圆交 于，两点，当时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 在如图的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝3，点M是侧面BCC'B'内的动点，满足AM⊥BD'，设AM与平面BCC'B'所成角为θ，则tanθ的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数、、、满足：，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题5分，共20分，多选错选不得分，少选得2分） 9. 已知点，，直线l的方程为，且与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值可以为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 10. 已知点和，若某直线上存在点 P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，下列直线是“椭型直线”的是（ ） A. x-2y+6=0 B. x-y=0 C. 2x-y+1=0 D. x+y-3=0 11. 已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，直线与圆相交 B. 为圆上的点，则的最大值为 C. 若圆上有且仅有两个不同点到直线的距离为，则的取值范围是 D. 若直线上存在一点，圆上存在两点、，使，则取值范围是 12. 正三棱柱，，P点满足（，）（ ） A. 当时，△的面积是定值 B. 当时，△的周长是定值 C. 当时，△的面积是定值 D. 当时，三棱锥的体积为定值 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 写出一个截距相等且不过第一象限直线方程________． 14. 已知圆上一定点，为圆上动点，则线段中点的轨迹方程为______________． 15. 直线与曲线有两个交点，则实数m的取值范围是________． 16. 已知、分别为（）椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，，则____，椭圆的离心率为___. 四、解答题（共6个大题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分） 17. 已知三角形的三个顶点，，. （1）求边的中垂线所在直线的方程； （2）求△ABC的面积． 18. 已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点. （1）求证：直线平面； （2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值. 19. 已知圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上． (1)求圆C方程； (2)求经过圆上一点A(﹣1，3)的切线方程． 20. 双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）设直线与双曲线交于两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点． 21. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点.把△ADE沿AE翻折，使得平面ADE⊥平面ABCE. （1）求证：AD⊥BE； （2）求BD所在直线与平面DEC所成角的正弦值. 22. 已知椭圆：（）的离心率为，且其长轴长与焦距之和为，直线，与椭圆分别交于点，，，，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常德市一中2023年下学期高二年级期中考试试卷 数学 （时量：120分钟 满分：150分 命题人： ） 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 2. 设，，与垂直，则等于（ ） A 6 B. 14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知向量坐标求的坐标，再由空间向量垂直的坐标表示求. 【详解】由题设，， ∴， ∴. 故选：C 3. 已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】B