立体几何的角度问题 题型专项训练-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

立体几何的角度问题 题型：求异面直线所成的角度 A、 利用基底解决角度问题 1、如图，在所有棱长均为1的平行六面体中，，侧棱与，均成角，为侧面的中心.(1)若N为的中点，证明：，B，D，N四点共面.(2)求异面直线与所成角的余弦值. B、利用空间向量解决角度问题 1、如图，在正方体中，分别为棱，，的中点，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2、如图，在矩形中，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为 .    3、如图，在正方体中，分别为的中点．求异面直线与的夹角的余弦值； 4、如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O，P为AS的中点，Q是半圆弧的中点，且，．求异面直线与所成角的正切值.    5、如图，在四棱锥中，平面，且四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点.(1)求证：平面；(2)若，求异面直线与所成角的余弦值.    6、如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且.(1)求证：平面；(2)求棱与BC所成的角的大小；    C、求异面直线所成角度的最值 1、如图，在正方体中，点在线段上运动，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 .    2、如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面.(1)求证：为的中点；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 题型：已知异面直线所成的角度求其他量 1、如图，设为正方体，动点在对角线上，记．(1)证明：；(2)当为钝角时，求的取值范围．    2、在四棱锥中，平面，，，，为的中点，为的中点．(1)线段的中点为，求证平面；(2)若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的平面角的余弦值。    3、如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点.(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)若为中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 4、如图，在四棱锥中，平面平面，分别为的中点．(1)证明：平面；(2)若与所成的角为，求平面和平面夹角的余弦值．    5、如图，设为正方体，动点在对角线上，记(1)证明：；(2)若异面直线与所成角为，求的值；(3)当为钝角时，求的取值范围．．    6、如图，在四棱锥中，平而为的中点，在上，且(1)求证：平面；(2)点是线段上异于两端点的任意一点，若满足异面直线与所成角的余弦值为，求的长． 题型：求直线和平面所成的角度 1、如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且.(1)求；(2)求直线与平面所成角的正弦值. 2、如图，在四棱锥中，平面平面为等边三角形，底面为等腰梯形，，且．(1)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由；(2)求与平面所成角的正弦值．    2、如图，四面体中，是的中点，，.(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.    3、如图，在四棱锥中，底面为矩形，，， 点为棱上的点，且.(1)证明：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.    4、已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁满足AC=BC=1，∠ACB=90°，∠A₁AC=60°，顶点A₁在平面ABC上的射影为点B.(1)证明：AC⊥平面A₁BC；(2)点M为A₁C₁的中点，点N为BC的中点，求直线CM与平面ANB₁所成角的正弦值. 5、如图，四棱锥中，平面平面，，，，，．(1)求证：平面平面；(2)若，求与平面所成角的正切值．    题型：已知线面角求其他量 1、在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，E是AC的中点.(1)求证：平面；(2)确定在线段上是否存在一点P，使得AP与平面所成角为，若存在，求出的值;若不存，说明理由.    2、如图，在四棱锥中，四边形为菱形，且，平面为的中点，为棱上一点.(1)求证：平面；(2)若为的中点，，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.    3、如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．(1)求证：平面平面．(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由．    4、如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，四边形为梯形，，.(1)若为的中点，求证：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.    5、如图所示，正四棱锥为侧棱上的点，且.(1)求证：；(2)在侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.    6、如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点.(1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；(2)求点N到直线BC的距离；(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 7、已知四棱锥中