2.2圆的对称性 课件 2023-2024学年苏科版九年级数学上册

2.2圆的对称性（1） 圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆中探究 在☉O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？ ⌒ ⌒ · O A B C D 由圆的旋转不变性，我们发现： 在☉O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么， ，弦AB=弦CD · O A B 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ · O ′ C D 在等圆中探究 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD. ⌒ ⌒ 1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. ①∠AOB=∠COD ②AB=CD ⌒ ⌒ ③AB=CD A B O D C 弧、弦与圆心角的关系定理 在☉O中，如果AB=CD，那么圆心角∠AOB与 ∠COD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？ ⌒ ⌒ · O A B C D 在☉O中，如果AB=CD，那么圆心角∠AOB与 ∠COD，AB与CD有怎样的数量关系？ ⌒ ⌒ 弧、弦与圆心角的关系 ①∠AOB=∠COD ③AB=CD A B O D C ②AB=CD ⌒ ⌒ ①∠AOB=∠COD ③AB=CD ②AB=CD ⌒ ⌒ 定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. A B O D C 如图，AB、CD是☉O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么___________，____________． （2）如果 ，那么____________，_____ ________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． AB=CD AB=CD AB=CD ( ( ∠AOB= ∠COD ∠AOB= ∠COD AB=CD ( ( AB=CD ( ( · C A B D F O 解： ∵ 例1 如图，AB是☉O 的直径， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． · A O B C D E ∠AOE=180°-3×35°=75°. 证明： ∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 例2 如图，在☉O中， AB=AC ,∠ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. · A B C O ⌒ ⌒ 温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键. ∵AB=CD， ⌒ ⌒ 圆心角 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 弦、弧、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中 概念：顶点在圆心的角 应用提醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化. 【小结】 2.2圆的对称性（2） 做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对着，比较AP与PB，AC与CB，你能发现什么结论？ ⌒ ⌒ · O A B D P 14 线段: AP=BP 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D P C 想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？ · O A B D C P 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P. 求证：AP=BP， ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ∴AP=BP. 又∵CP=CP， ∴Rt△APC≌Rt△BPC， ∴AC=BC， ⌒ ⌒ ∴ AC =BC. （同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧相等） ⌒ ⌒ AD =BD. 由此易得 垂径定理 · O A B C D P 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AP=BP, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式： 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C