数列求和方法之裂项相消奇偶讨论型 专题-2024届高三数学一轮复习

高三数学数列专题：数列求和方法2裂项相消 奇偶讨论型 (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 (3)常见的裂项技巧 题型一 等差型 （1）（2）（3） （4）（5） （6）（7） 1.(2015高考数学新课标1理科·第17题) 为数列的前项和．已知 (Ⅰ)求的通项公式：(Ⅱ)设,求数列的前项和 2.．(2014高考数学大纲理科·第18题) 等差数列的前n项和为，已知，为整数，且． (1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和． 3.记为正项数列的前n项和．已知，当时，． (1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和． 题型二 根式型 （1） （2） （2） （4） 4.已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：当时，． 题型三 指数型/差指型 （1）（2） （3） （4）（5） （6），设，易得，于是 5.（2020•全国）设数列的前项和． （1）求的通项公式；（2）证明：． 6.设数列的前n项和为，已知，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，为数列的前n项和，求． 题型四 对数型 7.已知数列的首项为2，且满足（且），． (1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和． 题型五 幂型 （1）（2）（3） 8.已知数列的前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和. 题型六 三角型 （1）（2） （3） （4）， 则 9.数列满足，，为的前n项和，若，则的范围为_______________． 题型七 正负相间型裂项 ①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 ②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 注：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 10.(2014高考数学山东理科·第19题) 等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列． (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)令，求数列的前项和． 11.已知正项数列，其前项和为，且满足，数列满足，其前项和，设，若对任意恒成立，则的最小值是___________. 题型八 通项与前n项和关系型/前n项积关系型 利用数列的前n项和与通项的关系裂项，如数列的通项可化为 12．已知数列{an}是递增的等比数列，且a2+a3＝12，a1•a4＝27． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn． 13.设为数列的前n项积．已知． (1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和． 题型九奇偶型求和 14.已知数列的前项和为，，，且当时，. (1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和. 15.已知等差数列的前项和为，公差且成等比数列． (1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和． 16.（多选）数列满足，，，为数列的前项和，则说法正确的有（    ） A． B． C． D．的最大值为 附加题 17.(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第18题) 已知公比大于的等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 18.已知数列满足，． (1)求；(2)设，求证：数列是等比数列；(3)求数列的前n项和． 19..(2020天津高考·第19题) 已知为等差数列，为等比数列，． (Ⅰ)求和的通项公式； (Ⅱ)记的前项和为，求证：； (Ⅲ)对任意的正整数，设求数列的前项和． 高三数学专题：数列求和方法2答案和解析 1.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)分析：(Ⅰ)先用数列第项与前项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；(Ⅱ)根据(Ⅰ)数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前项和． 解析：(Ⅰ)当时，，因为，所以=3， 当时，==，即，因为，所以=2，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，所以=； (Ⅱ)由(Ⅰ)知，=，所以数列{}前n项和为= =． 2.【答案】(1)；(2)解析：(1)设等差数列的公差为，而，从而有若，，此时不成立 若，数列是一个单调递增数列，随着的增大而增大，也不满足 当时，数列是一个单调递减数列，要使，则须满足即，又因为为整数，所以，所以 此时 (2)由(1)可得 所以 3.【答案】