精品解析：北京市东城区东直门中学2024届高三上学期期中数学试题

北京市东直门中学2023-2024学年度第一学期期中考试 高三数学 考试时间：120分钟 总分：150分 第一部分（选择题，共40分） 一、单选题（本大题共10小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数在复平面内对应点坐标分别为，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与向量的夹角为120°，，则（ ） A. 3 B. C. D. 1 5. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知直线，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知某种垃圾的分解率为，与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：） A. 48个月 B. 52个月 C. 64个月 D. 120个月 9. 已知奇函数的定义域为 ，且在上单调递减，若，则下列命题中正确的是（ ） A. 有两个零点 B. C. D. 10. 如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法不正确的是（ ） A. 当运动时，二面角的最小值为 B. 当运动时，三棱锥体积不变 C. 当运动时，存在点使得 D. 当运动时，二面角为定值 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 11. 函数的定义域为__________． 12. 已知等比数列中，，，则______． 13. 函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为______. 14. 已知数列的通项公式为，，且为单调递增数列，则实数的取值范围是__________． 15. 已知函数． ①若，则函数的值域为________； ②若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 17. 在①a＋c＝13，②b＝7，③a＋b＋c＝20三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并完成试题(如果多选，以选①评分). 已知△ABC的角A，B，C的对边长分别为a，b，c，ccosA－2bcosB＋acosC＝0. （1）求角B； （2）若 ，c>a，，求sinA. 18. “绿水青山就是金山银山”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，2011-2020年的植树成活率（%）统计如下：（表中“/”表示该年末植树）： 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 甲 95.5 92 96.5 91.6 96.3 94.6 / / / / 乙 95.1 91.6 93.2 978 95.6 92.3 96.6 / / / 丙 97.0 95.4 98.2 93.5 94.8 95.5 94.5 93.5 98.0 92.5 规定：若当年植树成活率大于，则认定该年为优质工程． （1）从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率； （2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以X表示这3年中优质工程的个数，求X的分布列； （3）若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？ 19 已知函数． （1）若，求函数的单调递减区间； （2）若，求函数在区间上最大值； （3）若在区间上恒成立，求的最大值. 20. 已知椭圆： 的离心率为，长轴的右端点为． （1）求的方程； （2）直线与椭圆分别相交于两点，且，点不在直线上. ①试证明直线过一定点，并求出此定点； ②从点作垂足为，点，写出的最小值（结论不要求证明）． 21. 已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数. （1）当，时，写出的所有可能值； （2）若数列中项存在