5.3 导数在研究函数中的应用（十七大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

5.3　导数在研究函数中的应用 课程标准 学习目标 （1）能利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间，利用导数研究函数增长快慢．能将函数单调性问题转化为导数的运算和导数正负的判断问题，发展数学运算素养． （2）能用自己的语言解释函数极值的意义，能利用导数求某些函数的极值以及最大（小）值，体会数形结合思想、函数与方程思想，发展逻辑推理索养． （3）会利用导数研究函数的图象，得出函数的最大（小）值、值域、零点等性质；会利用函数的最大（小）值，证明与函数有关的一些简单不等式；会用导数研究实际问题中的优化问题．体会数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想，发展直观想象、逻辑推理、数学建模等素养． （1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． （2）借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系． （3）会利用导数解决一些实际生活中的优化问题． 知识点01 单调性 一、函数的单调性与导数的关系 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若，则在这个区间上单调递增； ②若，则在这个区间上单调递减； ③若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 知识点诠释： 1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减． 2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）． 即在某区间上，在这个区间上单调递增； 在这个区间上单调递减，但反之不成立． 3、在某区间上单调递增在该区间； 在某区间上单调递减在该区间． 在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 例如：，，，而在R上递增． 4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 5、注意导函数图象与原函数图象间关系． 二、利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导， （1）如果恒有，则函数在内单调递增； （2）如果恒有，则函数在内单调递减； （3）如果恒有，则函数在内为常数函数． 知识点诠释： （1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则． （2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或． 三、利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号． 知识点诠释： 1、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集． 2、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确． 四、讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在