专题训练15 立体几何大题5种高考常见考法归类（56道）-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

专题训练15 立体几何大题5种高考常见考法归类（56道） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 精选2019-2023年五年各地高考真题及最新模拟题 考点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1．（2023•全国）在直三棱柱中，，，． （1）求直三棱柱的体积； （2）求直三棱柱的表面积． 2．（2023•乙卷）如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 3．（2022•上海）如图所示三棱锥，底面为等边，为边中点，且底面，． （1）求三棱锥体积； （2）若为中点，求与面所成角大小． 4．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 5．（2021•甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，． （1）求三棱锥的体积； （2）已知为棱上的点，证明：． 6．（2020•上海）已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面． （1）若，求四棱锥的体积； （2）若直线与的夹角为，求的长． 7．（2020•新课标Ⅱ）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点．过和的平面交于，交于． （1）证明：，且平面平面； （2）设为△的中心．若，平面，且，求四棱锥的体积． 8．（2019•新课标Ⅱ）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，． （1）证明：平面； （2）若，，求四棱锥的体积． 考点二 直线与平面平行、垂直的证明 9．（2022•甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． （1）证明：平面； （2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 10．（2019•江苏）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，．求证： （1）平面； （2）． 11．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明： （1）当时，； （2）点在平面内． 12．（2019•北京）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，求证：平面平面； （Ⅲ）棱上是否存在点，使得平面？说明理由． 13．（2022•乙卷）如图，四面体中，，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 14．（2021•乙卷）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 15．（2020•新课标Ⅰ）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面平面； （2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积． 16．（2020•江苏）在三棱柱中，，平面，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 17．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2． （1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面； （2）求图2中的四边形的面积． 考点三 直线与平面所成的角 18．（2023•甲卷）在三棱柱中，，底面，，到平面的距离为1． （1）求证：； （2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值． 19．（2022•甲卷）在四棱锥中，底面，，，，． （1）证明：； （2）求与平面所成的角的正弦值． 20．（2022•北京）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 21．（2022•乙卷）如图，四面体中，，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 22．（2021•浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 23．（2021•上海）四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面． （1）若为等边三角形，求四棱锥的体积； （2）若的中点为，与平面所成角为，求与所成角的大小． 24．（2020•山东）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为． （1）证明：平面； （2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 25．（2020•北京）如图，在正方体中，为