函数奇偶性十大题型例题讲义-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

函数奇偶性十大题型例题分析 奇偶性 (1)奇偶函数的性质 ①偶函数⇔f(-x)=f(x)⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反； ②奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同； ③奇函数在x=0处有意义时，必有结论f(0)=0； (2)奇偶性的判定 ①“奇±奇”是奇 ,“偶±偶”是 偶 ,“奇×/÷奇”是 偶 ,“偶×/÷偶”是 偶 ,“奇×/÷偶”是奇 ; ②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变； ③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数. (2)常见奇函数 ③f(x)=g(x)-g(-x) 当然,还有f(x)=sinx,f(x)=tanx等等; 奇偶性(对称型)与周期 周期性:①若f(x+a)=f(x-b)⇔f(x)周期为T=a+b. ②常见的周期函数有： f(x+a)=-f(x)或 或 那么函数f(x) 是周期函数，其中一个周期均为T=2a. 【题型一】奇偶性概念辨析 【典例分析】 函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是( ) A. f(x)+g(x) 为奇函数 B. f(x)+g(x)为偶函数 C. f(x)g(x)为奇函数 D. f(x)g(x) 为偶函数 【答案】C 【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可. 【详解】令F₁(x)=f(x)+g(x),则 F₁(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-F₁(x),且F₁(-x)≠F₁(x), ∴F₁(x) 既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误； 令 ,则F₂(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F₂(x),且. ∴F₂(x) 是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误； 故选:C 【变式训练】 1.函数f(x)=(-1)*(x-2k),x∈[2k-1,2k+1),k∈Z( ) A. 是奇函数不是偶函数 B. 是偶函数不是奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 【答案】D 【分析】结合函数的奇偶性确定正确答案. 【详解】当k=0时，x∈[-1，1)，函数f(x)定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.故选:D 2.下面四个结论中，正确的个数是( ) ①奇函数的图象关于原点对称； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y轴对称； ④偶函数的图象一定与y轴相交. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】根据奇偶函数图像的特点即可判断①③，举出反例即可判断②④. 【详解】解：对于①，奇函数的图象关于原点对称，故①正确； 对于②，例如 为奇函数，但其图象不过原点，故②错误； 对于③，偶函数的图象关于y轴对称，故③正确； 对于④，例如 为偶函数，但其图象与y轴不相交，故④错误. 故选:B. 3.对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“f(x)是偶函数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】如果f(x)是偶函数，根据偶函数的定义，可证y=|f(x)|是偶函数，而γ=|f(x)|的图象关于y轴对称，可举例说明f(x) 不一定为偶函数，结合充分必要的定义，即可得出结论. 【详解】函数y=f(x) 是偶函数,则f(-x)=f(x), 此时,|f(-x)|=|f(x)|, 因此y=|f(x)|的图象关于y轴对称, 但当y=|f(x)|的图象关于y轴对称时， 未必推出y=|f(x)|是偶函数, 如y=2x,y=|2x|的图象也关于y轴对称, 但y=2x并非偶函数， 故 的图象关于y 轴对称” 是 是偶函数”的必要不充分条件. 故选:B. 【题型二】常见函数奇偶性判断 【典例分析】 . 符号[x]表示不超过x的最大整数,如[2.1]=2,[π]=3,[-1.2]=-2,定义函数{x}=x-[x],以下结论正确的是( ) ①函数{x}的定义域是 R,值域为[0,1); ②方程 有无数个解； ③函数{x}是奇函数； ④函数{x}是增函数. A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】A 【分析】利用[x]的定义，结