2024年九年级中考复习数学函数综合专题讲义

2024中考数学函数综合专题 存在性问题 存在性问题是指判断满足某种条件的事物或事件是否存在的问题，是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件或挖掘出隐含条件，辅以方程思想等，进行正确的计算、推理，再对得出的结果进行分析检验，判断是否与题设、公理、定理等吻合．若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在． 【考点一：等腰三角形】 问题：已知点和点，找一点，使得为等腰三角形． 如果是等腰三角形，那么存在①②③三种情况. 解法1：几何法（两圆一线） （1）作的垂直平分线，垂直平分线上的所有点（除了和、在同一直线上）都满足条件； （2）分别以点、为圆心，为半径作圆，圆上的所有点（除了和、在同一直线上）都满足条件； （3）利用等腰三角形的性质、勾股定理、相似、三角函数求出线段长，由线段长得点的坐标 举个例子：在平面直角坐标系中，为坐标原点，，在轴上找一点，使为等腰三角形， 求满足条件的所有点的坐标. 【解题思路】连接，作线段的垂直平分线，再分别以、点为圆心，线段长为半径画圆，所画的“两圆一线”与轴的四个交点 、、、即为所求． 解法2：代数法 罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 【例1】在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为，点在轴上，作直线．点关于直线的对称点刚好在轴上，连接． 图1 图2 （1）写出一点的坐标，并求出直线对应的函数表达式； （2）点在线段上，连接、、，当是等腰直角三角形时，求点坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向原点运动，到达点时停止运动，连接，过作的垂线，交轴于点，问点运动几秒时是等腰三角形． 【变式训练1-1】如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点，使为等腰三角形？请在图中画出部分符合条件的点，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由． 【变式训练1-2】如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； 【考点二：直角三角形】 问题：已知点和点，找一点，使得为直角三角形． 如果是直角三角形，那么存在①是直角②是直角③是直角三种情况. 解法1：几何法（两线一圆） 先分类；再画图，作辅助线构造相似三垂直模型或者找到相等角度的三角函数；最后列比例式求解. 举个例子： 在平面直角坐标系中有两点，，是坐标轴上的一点，若是直角三角形，则满足条件的点共有( )个 【解题思路】两线：分别过、做线段的垂线，与轴分别有一个交点； 一圆：以为直径做圆，可与坐标轴交于，，，四点． 根据直径所对的圆周角是，满足条件的点共有4个，再加上两线与轴的交点共有6个． 解法2：代数法（勾股定理） 先罗列三边；再分类根据勾股定理列方程；最后解方程、检验. 【例2】如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式训练2-1】如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：平分； （3）抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点三：平行四边形】 解平行四边形的存在性问题一般分为三步：寻找分类标准；画图；计算. 难点在于寻找分类标准，可分为以下两种类型： （1） 三定一动型：以已知的三个定点为三角形的三个顶点，过每个点画对边的平行线，三条平行线相交形成一个大三角形，大三角形的三个顶点可能就是所求点. 举个例子：在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标。 （2） 两定两动型：由于平行四边形的任意两个顶点相连产生两种线段（边或对角线），所以可以按照确定的线段分为边或对角线展开讨论. 根据平行四边形的对边平行且相等，灵活应用坐标平移； 根据平行四边形中心对称，灵活应用坐标对称（参考中点坐标公式）。 【例3】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出相应点的坐标． 【变式训练3-1】如图，抛物线与轴交于两点和，与轴交于点，点是抛物线上一