19.4 线段的垂直平分线（教学课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

沪教版八年级上册 第 19 章 几何证明 19.4 线段的垂直平分线 学习目标 1.理解线段垂直平分线的概念； 2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点） 3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点） A B N M 复习引入 线段的对称轴是什么？ 线段的中点 线段的垂直平分线 （线段的中垂线） P P PA=PB ？ A B P1 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 M N 动手操作：在长方形纸上画一条线段AB，然后将纸对折，使得A点与B点重合。 由此你能得到什么规律？ P 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 A B P M N C PA=PB 直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB.点P在MN上. 已知： 求证： 证明：∵MN⊥AB(已知） ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90°（垂直定义） 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC （已知） ∠ PCA= ∠ PCB （已证） PC=PC （公共边） ∴ ΔPAC ≌Δ PBC（SAS) ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等） 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 A B P M N C ∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴ PA=PB (线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等) 例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC B A C M N M’ N’ P PA=PB=PC PB=PC 点P在线段BC的垂直平分线上 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 分析： 例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分 线交于P. 求证：PA=PB=PC; 证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上（已知） ∴PA=PB （线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等） 同理 PB=PC ∴PA=PB=PC（等量代换） B A C M N M’ N’ P A B P C 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点的距离相等。 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上。 逆命题： A B P C 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点的距离相等。 逆命题：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上。 已知： PA=PB 求证：点P在线段AB的垂直平分线上 二、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 三、线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合 例2： 已知:如图,在ΔABC中,ON是AB的垂直平分线， OA＝OC。 求证：点O在BC的垂直平分线上。 A N B C O 证明：连结OB ∵ON是AB的垂直平分线（已知） ∴OA＝OB （线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等） ∵OA＝OC（已知） ∴OB＝OC（等量代换） ∴点O在BC的垂直平分线上 （和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 练习： 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分 线交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上 证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上（已知） ∴PA=PB （线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等） 同理 PB=PC ∴PA=PC（等量代换） ∴点P在AC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） B A C M N M’ N’ P 1.如图,已知在AABC 中,AB=AC=24cm,AC 的垂直平分线分别交AB、AC 于点E、F,且BCE的周长为34cm，求底边BC的长。 课本练习 解：∵EF是AC的垂直平分线 ∴AE=CE ∴△BCE的周长=BC+BE+CE