精品解析：北京市朝阳区人大附中朝阳分校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

2023北京人朝分校初三（上）期中 数 学 一.选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（） A. B. C. D. 3. 下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，五角星旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（） A. B. C. D. 6. 如图，是上的三个点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线可以由抛物线经过以下哪种方式平移得到（） A. 向上平移2个单位 B. 向下平移2个单位 C. 向左平移2个单位 D. 向右平移2个单位 8. 在平面直角坐标系中，点，将抛物线向上平移个单位，使得平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 二.填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是_______． 10. 若方程有一个根为，则代数式的值为____________． 11. 已知在二次函数的图象上，则____________（填“>”，“<”或“=”）． 12. 如图，是的直径，，若，则_______． 13. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为____________． 14. 如图，以速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，小球飞行过程中能达到的最大高度为____________． 15. 如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是________． 16. 如图，二次函数的图象经过点．如下四个推断：①抛物线开口向下；②当时，取最大值；③当时，关于的一元二次方程总有两个不相等的实根；④若直线经过点，当时，的取值范围是．其中推断正确的是____________（填写序号）． 三.解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17. 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为． （1）画出旋转后的图形，并写出点，的坐标； （2）求线段的长． 19. 如图，点A、B、C、D在上，，与相等吗？为什么？ 20. 已知：A，B是直线l上的两点． 求作：ABC，使得点C在直线l上方，且AC=BC，． 作法：①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l上方交于点O，在直线l下方交于点E； ②以点O为圆心，OA长为半径画圆； ③作直线OE与直线l上方的⊙O交于点C； ④连接AC，BC．ABC就是所求作三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接OA，OB． ∵OA＝OB＝AB， ∴OAB是等边三角形． ∴． ∵A，B，C在⊙O上， ∴∠ACB＝∠AOB（ ）（填推理的依据）． ∴． 由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线， ∴AC=BC（ ）（填推理的依据）． ∴ABC就是所求作的三角形． 21. 如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径． 22. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求此函数的解析式； （2）结合图象，直接写出当时，函数的取值范围． 24. 如图，利用一面墙（墙长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少． 25. 如图，在中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转得到． （1）若，写出旋转角及其度数； （2）当度数变化时，与之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明． 26. 已知抛物线． （1）求该抛物线项点坐标（用含的式子表示）； （2）抛物线上有不同的两点，若，直接写出的值； （3）点在抛物线上，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由． 27. 在中，，过点C作射线，使（