河南省信阳市第二高级中学2023-2024学年高二上学期阶段性测试数学试卷

2023-2024学年度高二上学期阶段性测试数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 圆心为，且经过坐标原点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，若无论取何值，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：（其中）；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ） A. B. C. D. 12 5. 甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是6的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为1，竹签所在直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四面体中，，，，点为重心，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则或 C. 当时，是直线的方向向量 D. 原点到直线的最大距离为 10. 若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹所围成区域的面积为 B. 面积的最大值为 C. 点到直线距离的最大值为 D. 若圆上存在满足条件的点，则的取值范围为 11. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定： ①为同时与，垂直的向量； ②，，三个向量构成右手系（如图1）； ③. 如图2，在长方体中中，，，则（ ） A. B. C. D. 12. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，其中，，，其“欧拉线”与圆M：相切，则下列说法正确的是（ ） A. 过作圆M的切线，切线长为 B. 圆M上点到直线的最小距离为 C. 若点在圆M上，则的最大值是 D. 圆与圆M有公共点，则a的取值范围是 三、填空题（本共大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 与圆相交所得弦长为2，且在轴上截距为的直线方程是__________ 14. 已知是曲线上的点，则的取值范围是___________. 15. 已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为______. 16. 函数的最小值为___________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知三角形△的顶点为. （1）求边上高所在直线的方程; （2）求经过的直线，使得A，B到直线的距离相等. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积记为S，已知，． （1）求A； （2）若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长． 19. 在长方体中，，分别是，的中点，，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 20 已知直线，圆. （1）若直线与圆相离，求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，是否存在过点的直线垂直平分弦？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 21. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，． （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 22. 已知圆，直线为直线上一点，过点作圆的两条切线，其中为切点，且最小． （1）求直线的方程； （2）为圆与轴正半轴的交点，过点作直线与圆交于两点，设，的斜率