山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

2022级高二年级第一学期期中自我测试 数学试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题（本大共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 椭圆的焦点坐标为 A．， B．， C．， D．， 2. 已知直线过点，且与直线平行，则的方程是 A． B． C． D． 3. 点关于直线的对称点的坐标为 A. B. C. D. 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，则椭圆的面积为 A. 30 B. 120 C. D. 6. 已知直线：与圆：，则上各点到距离的最小值为 A. B. C. D. 7. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为 A. 13 B. 12 C. 6 D. 9 8. 若实数满足，则的最大值为 A B. C. D. 2 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9. 直线对应的图像不可能是 A． B． C． D． 10. 已知，则下述正确是 A. 圆C的半径 B. 点在圆C的内部 C 直线与圆C相切 D. 圆与圆C相交 11. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是 A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 和夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 12. 在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为BC、、的中点，则下列选项正确的是 A. B. 直线与EF所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数、使得 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若直线与互相垂直，则m=______________ 14. 已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程是___________. 15. 直线恒过定点______________ 16. 已知直线y＝k（x+2）与曲线有两个不同的公共点，则k的取值范围是 ______________ 四、解答题（共70分） 17.(10分) 已知△ABC的三个顶点分别为． (1)求边上的高所在直线的方程(化为一般式)； (2)求△ABC的面积． 18．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且． （1）求证：； （2）求EF与CG所成角的余弦值． 19. （12分） 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 20. （12分） 已知圆，圆. （1）若圆与圆外切，求实数的值； （2）设时，圆与圆相交于两点，求弦AB的长. 21. （12分）如图，四边形是正方形，平面，F为PD的中点． (1)求证：BD//平面； (2)求面与面夹角的大小． 22. （12分） 已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值（O为坐标原点） 第4页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2022级高二年级第一学期期中自我测试 数学试题参考答案 一、ADAD CCDB 二、9.CD 10.ACD 11.BD 12.BD 三、13.6 14. (x+1)2+(y-1)2=25 15. (-1,-2) 16. 或 四、17、【详解】（1）直线的斜率为，因此边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为：.即2x-y+3=0 （2）直线的方程为，即， 于是点到直线的距离为：，而， 所以的面积. 18. （1）建立以D点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 所以，即， 所以. （2）由（1）知，，， 则， 因为EF与CG所成角的范围为，所以其夹角余弦值为. 19. 【小问1详解】 圆心在直线上，可设圆心， ，解得：，则圆心， 圆的半径， 圆的方程为； 【小问2详解】 当切线的斜率存在时，设过点的切线方程为，即， 圆心到直线的距离，解得：， 切线方程为，即； 当直线斜率不存在时，直线方程为：，圆心到直线的距离是，是圆的切线； 综上所述：过点的圆的切线方程为和. 20.答案：（1） （2） 解：（1）圆，即，所以， 圆，所以， 因为两圆外切，所以，得， 化简得，所以. （2）时，圆，即， 将圆与圆的方程联立，得到方程组 两式相减得公共弦的方程为：. 21.（1）依题意，平面，如图，以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得，，，，，， 取的中点M，连接．∵，， ∴，∴， ∵平面平面，∴平面． （2）因为，所