5.2 导数的运算（十大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

5．2 导数的运算 课程标准 学习目标 （1）能利用导数的定义，推导出几个常见函数的导数公式；能说出用定义法求导数的基本步骤，体会极限思想． （2）能直接使用基本初等函数的导数公式表求一些简单函数的导数，进一步解释导数的意义，能描述求函数的导数是一种借助极限的运算，从而进一步体会极限思想． （3）能通过具体实例直观感受导数的四则运算法则，通过实例解释导数的四则运算法则；会用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求一些简单函数的导数，感受从具体到抽象的学习过程，体会特殊与一般的思想，发展数学抽象和数学运算素养． （4）能通过具体实例解释复合函数的概念，会分析简单复合函数的复合过程，能说出复合过程中的自变量、因变量以及中间变量分别是什么；能说出复合函数的求导方法，通过具体实例解释复合函数的两次求导过程和求导法则，会直接运用复合函数的求导法则进行求导，进一步体会特殊到一般的思想，提升数学运算素养． （1）能根据导数定义推导函数，，，，，的导数公式． （2）会使用导数公式表． （3）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数四则运算法则，会求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如的导数． 知识点01 基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数）， （2）（n为有理数）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7）， （8），，这样的形式． 要点诠释： 1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴． 2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）． 特别地，． 3、正弦函数的导数等于余弦函数，即． 4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即． 5、指数函数的导数：，． 6、对数函数的导数：，． 有时也把记作： 以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 【即学即练1】（2023·高二课时练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 知识点02 函数的和、差、积、商的导数 运算法则： （1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数：（） 要点诠释： 1、上述法则也可以简记为： （ⅰ）和（或差）的导数：， 推广：． （ⅱ）积的导数：， 特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例 ， 当时，． 这是一个函数倒数的求导法则． 2、两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，，注意差异，加以区分． （2）注意：且． 3、求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量． 【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点03 复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 要点诠释：常把称为“内层”，称为“外层”． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 3、掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 要点诠释： 1、整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量． 2、选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数． 【即学即练3】（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型一：利用导数公式求函数的导数 例1．（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)． 例2．（2023·高二课时练习）用公式求下列函数的导数，其中： (1)； (2)． 例3．（2023·高二课时练习）求余弦函数在处的导数． 变式1．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8). 变式2．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 变式3．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【方法技巧与总结】 （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导． （2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根