北京市景山学校2023-2024学年高三上学期期中数学试卷

北京景山学校2023—2024学年度第一学期 高三数学期中考试试卷 注意事项 （1）请用蓝色或黑色圆珠笔、钢笔或签字笔答卷，不得用铅笔或红笔答卷. （2）认真审题，字迹工整，卷面整洁. （3）本试卷共5页，共三道大题，21道小题.考试时间120分钟. （4）请将选择题的答案填涂在机读卡上，其余试题答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 下列函数中，在定义域上为增函数且为奇函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，.若，则（ ） A. 6 B. C. D. 5. 经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为（ ） A. B. C D. 6. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与圆相交于两点，且，那么实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 9. 已知函数在上单调，且，则的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下说法中不正确的是（ ） A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面 D. 若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为圆上的一段弧 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是_________． 12. 已知椭圆两个焦点分别为，，点在上，且，则椭圆的离心率为__________. 13. 已知数列的前项和为，且，，则__________；若，则的最小值为__________. 14. 设函数，若的值域为，则的取值范围是__________. 15. 已知直线与相交于点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的工线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，，，，…，记点的横坐标构成数列，给出下列四个结论： ①点； ②数列单调递减； ③； ④数列的前项和满足：. 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 16. 已知中，. （1）求的大小； （2）若，再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①；条件②；条件③. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 已知函数，且. （1）求的值及的最小正周期； （2）若，且，求实数的最大值. 18. 如图，在三棱柱中，平面，是等腰直角三角形，，，，分别是棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，焦距为，点在椭圆上. （1）求的方程； （2）过点的任意直线与椭圆交于，（不同于，）两点，直线的斜率为，直线的斜率为.试问是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，设，若有两个不同零点，求参数的取值范围. 21. 已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得. （1）若，，求； （2）若，求证：数列中有无穷多项为0； （3）若，求数列的通项公式. 北京景山学校2023—2024学年度第一学期 高三数学期中考试试卷 注意事项 （1）请用蓝色或黑色圆珠笔、钢笔或签字笔答卷，不得用铅笔或红笔答卷. （2）认真审题，字迹工整，卷面整洁. （3）本试卷共5页，共三道大题，21道小题.考试时间120分钟. （4）请将选择题的答案填涂在机读卡上，其余试题答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. 4