精品解析：江西省吉安市吉州区吉安一中2023-2024学年高三上学期期中数学试题

吉安一中2023—2024学年度上学期期中考试 高三数学试卷 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. R D. 2. 设，若复数的虚部为3（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知，，则（ ） A B. C. D. 4. 小明参加某项答题闯关游戏，每答对一道题则进入下一轮，某次答题时小明从A、B两块题板中任选择一个答题，已知他答对A题板中题目概率为0.8，答对B题板中题目概率为0.3，假设小明不了解每块题板背后的题目，即小明随机等可能地从A、B两块题板中任选一个作答，现已知小明进入了下一轮，则他答的是A题板中题目的概率是（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的是较小的两个数之和，则这五个数中最大的数为（ ） A. B. 20 C. D. 7. 中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为1 C. 的最大值为16 D. 的最小值为4 8. 设函数（）（为自然对数的底数），若关于的不等式的正整数解有且只有两个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9. 关于下列命题中，说法正确的是（ ） A. 已知，若，则 B. 某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现按年级分层，用分层随机抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人 C. 已知，若，则 D. 数据的分位数为77 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 若函数为偶函数，则 C. 若，则函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 D. 若，则函数图象的对称中心为 11. 已知，则关于函数说法正确的是（ ） A. 函数在上为减函数 B. 函数的图象的对称轴为 C. ，使得 D. 12. 如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处平面分别在线段和侧面上运动，且，若分别为线段的中点，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 存在某个位置，使得 C. 三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 D. 三棱锥体积最大时，点到平面的距离的最小值为. 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 函数 在点处的切线方程为___________． 14. 已知球O的表面积为100，某个高为6的圆柱的上下底面圆周都在此球面上，则此圆柱的体积为___________． 15. 已知函数，若，则实数的取值范围为__________. 16. 在如图所示的三角形数阵中，用（）表示第i行第j个数（），已知（），且当时，除第i行中的第1个数和第i个数外，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和.即（）.若，则正整数m的最小值为____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若D为边上一点，，． （1）求角； （2）求的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面，点在棱上，，点在棱上，为的中点，. （1）求证：四点共面. （2）求直线与平面的所成角的正弦值. 19. 记为数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）令，记数列的前项和为，试求除以3的余数. 20. 本届杭州亚运会是首届采用云上转播亚运会，预计在云上传输最大60路高清和超高清信号，某企业负责生产所需的某种高清转播设备，设生产该款设备的次品率为（），且各套设备的生产互不影响． （1）生产该款设备需要两道工序，且互不影响，假设每道工序的次品率依次为． ①求； ②现对该企业生产的设备进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的设备会被自动淘汰，若自动智能检测为合格，则再进行人工抽检，已知自动智能检测显示该款设备的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一套设备是合格品的概率． （2）视为概率，记从该企业生产的设备中随机抽取套，其中恰含（）个次品的概率为，求证：在时取得最大值． 21. 已知抛物线：（）的焦点也是椭圆：的一个焦点，是与在第一象限的公共点. （1）求抛物线的方程； （2）过点作斜率为的直线与交于两点，与交于两点，且与同向. （i）当直线绕点旋转时，判断的形状；