专题26 直线与圆锥曲线的位置关系5种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题26 直线与圆锥曲线的位置关系5种常见考法归类 1．直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0． 方程特征 交点个数 位置关系 直线与椭圆 a≠0，Δ＞0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ＜0 0 相离 直线与双曲线 a＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行且两者相交 a≠0，Δ＞0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ＜0 0 相离 直线与抛物线 a＝0 1 直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交 a≠0，Δ＞0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ＜0 0 相离 注：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？ 不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交． 2．弦长公式 当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB|＝|x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝． 3、直线与圆锥曲线相交时，可以能用两点间距离公式求弦长，当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法． 4、直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交． 5、直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决要考虑特殊情形；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线适合题意. 6、圆锥曲线中的最值及范围问题 （1）求参数范围的方法 据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． （2）求最值问题的方法 ①几何法 题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决． ②代数法 题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 直线与圆锥曲线的位置关系 考点二 弦长问题及中点弦问题 考点三 圆锥曲线中的最值及范围问题 考点四 圆锥曲线中的向量问题 考点五 圆锥曲线的定点、定值问题 考点一 直线与圆锥曲线的位置关系 1．（2023上·新疆伊犁·高二校联考期中）直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（2023上·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习）已知直线，抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点关于轴对称的点为.若过点的圆与直线相切，且与直线交于点，则当时，直线的斜率为 . 4．（2023上·安徽·高二校联考期中）已知椭圆的上、下焦点分别为，，O为坐标原点． (1)若点P在椭圆C上，且，求的余弦值； (2)若直线与椭圆C交于A，B两点，记M为线段的中点，求直线的斜率． 5．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且交右支于两点，点为线段的中点，点在轴上，． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若，求直线的方程． 6．（2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知为曲线上两点，的中点在直线上. (1)求直线的斜率； (2)过点分别作曲线的切线，交于点，连接，交曲线于点，求点的坐标. 考点二 弦长问题及中点弦问题 7．（2023上·山西运城·高二校联考期中）已知直线与抛物线交于点与轴、轴分别交于点，且点为线段的中点．若，则直线的方程为 ． 8．（2023上·山西运城·高二校联考期中）设直线与抛物线相交于两点，若，求的值. 9．（2023上·内蒙古包头·高二校考阶段练习）已知双曲线，，分别是双曲线的左、右焦点． (1)P为双曲线上一点，．求的面积；求的值． (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求弦长的值． 10．（2023上·江苏无锡·高二锡东高中校考期中）已知椭圆焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、. (1)求椭圆的方程； (2)若，的最大值. 11．（2023上·江西南昌·高二江西师大附中校考期中）已知椭圆焦距为，离心率为. (1)求曲线的方程； (2)过点