【名师领航2024】高三数学二轮复习学案——1.1平面向量基础点（新高考）

1.1平面向量基础点（新高考） 目录 【备考指南】 1 【方法技巧】 2 【真题检验】 4 【热点预测】 9 【热点一】平面向量加减法 9 【热点二】平面向量数乘 12 【热点三】平面向量共线定理 16 【热点四】平面向量基本定理 19 【热点五】平面向量共线的坐标表示 23 【热点六】线性运算的坐标表示 25 【热点七】数量积的定义与运算 29 【热点八】数量积的坐标表示 32 【热点九】投影向量 35 【强化训练】 38 备考指南 考点 考情分析 考频 平面向量的线性运算 2022年新高考Ⅰ卷T3 数量积运算及其应用 2023年新高考Ⅰ卷T3 2023年新高考Ⅱ卷T13 2022年新高考Ⅱ卷T4 2022年全国甲卷T13 2022年全国乙卷T3 2021年全国甲卷T14 2021年全国乙卷T14 2021年新高考Ⅱ卷T15 3年8考 预测：从近3年看，平面向量这部分内容主要考察数量积运算及其应用，试题难度不大，二轮复习时要牢固掌握基础知识点，能对基础的知识进行简单的原因.更早以前平面向量这部分内容也可能会出现难度较大的考察，在后续的复习中也应到考虑到. 方法技巧 1.平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量. 2.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 3.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值. 4.利用共线向量定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔，共线. (3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. 5.平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 6.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0； (2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb. 7.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解. 8.平面向量数量积的两种运算方法 (1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题； (2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解. 9.根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cos θ＝(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. 10.计算向量的模： ①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； ②利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 11.向量数量积综合应用的方法和思想 (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解. (3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用. 真题检验 一、单选题 1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023·北京·统考高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 4．（2023·全国·统