福建省福州第四中学2023-2024学年高三上学期期中检测数学试卷

福州四中2023-2024学年第一学期第一学段检测试卷 高三数学 命题：林铭辉 审核：林克刚 一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 复数（其中为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 2. 已知集合；，则=（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数在单调递增的一个充要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲､乙､丙､丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲､乙､丙､丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲､丙所得之和为石，则“衰分比”为（ ） A. B. C. D. 6. 函数部分图象是 A. B. C. D. 7. 某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若关于的方程有6个根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. D. 的最小值为 10. 已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的（ ） A. 点的坐标为 B. 若直线经过焦点，则 C. 若，则线段中点到轴的距离为 D. 若直线经过焦点且满足，则直线的倾斜角为 11. 声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 在上是增函数 C. 的最大值为 D. 在上有个极值点 12. 已知正方体的棱长为为棱上的动点，平面过点且与平面平行，则（ ） A. B. 平面与底面和侧面的交线长之和为 C. 与平面所成的角可以是 D. 三棱锥的体积为定值 三､填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知角的终边经过点，则的值是___________. 14. 函数图象在处的切线方程为，则___________. 15. 已知某批零件的质量指标单位：毫米服从正态分布，且，现从该批零件中随机取件，用表示这件产品的质量指标值不位于区间的产品件数，则_______ 16. 已知分别为双曲线左，右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且关于的平分线的对称点恰好在上，则的离心率为__. 四､解答题（共6小题，共70分） 17. 数列中，，． （1）求证为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求满足的的最大值． 18. 中，内角，，所对的边分别为，，，，. （1）求； （2）如图，为边上一点，，，求的面积. 19. 如图所示的几何体由等高的个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且、、、四点共面． （1）证明：平面． （2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 20. 中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y(单位：万台)关于x(年份)的线性回归方程为＝4.7x－9495.2，且销量y的方差，年份x的方差为． （1）求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱； （2）该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 30 20 50 女性 15 35 50 总计 45 55 100 能否有99%的把握认为购买电动汽车与性别有关? （3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4人，记这4人中，男性的人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式； (i)线性回归方程：，其中，； (ii)相关系数：，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强； (iii)，其中n＝a＋b＋c＋d． 附表： α 0.10