山东省烟台市2023-2024学年高二上学期期中学业水平诊断数学试题

2023~2024学年度第一学期期中学业水平诊断 高二数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上． 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．若直线在y轴上的截距为2，则该直线的斜率为（ ） A．-2 B．2 C． D． 2．经过点，两点的直线的方向向量为，则m的值为（ ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 3．在三棱锥中，D，E分别为BC，OA的中点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 4．求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 6．如图，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 7．已知圆C：上总存在两个点到原点的距离为2，则圆C半径r的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．过直线上一点P作圆的两条切线PA，PB，若，则点P的横坐标为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知直线l：，则（ ） A．直线l的倾斜角可以为 B．直线l的倾斜角可以为0 C．直线l恒过 D．原点到直线l距离的最大值为5 10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 D．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 11．已知平行六面体的棱长都为2，，，O为底面ABCD中心，则下列结论正确的有（ ） A． B．与所成角的余弦值为 C．平面ABCD D．已知N为上一点，则最小值为 12．米勒问题是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大），米勒问题的数学模型如下：如图，设M，N是锐角∠ABC的一边BA上的两个定点，点P是边BC上的一动点，则当且仅当的外接圆与BC相切于点P时，∠MPN最大．若，，点P在x正半轴上，则当∠MPN最大时，下列结论正确的有（ ） A．线段MN的中垂线方程为 B．P的坐标为 C．过点M与圆相切的直线方程为 D． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为______． 14．已知直线与圆C：交于A，B两点，写出满足条件“”的m的一个值______． 15．如图，在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为______，点到面的距离为______．（本小题第一空2分，第二空3分） 16．平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，若对于点，圆C上总存在点M，使得，则实数m的取值范围为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l过点，求满足下列条件的直线l的方程． （1）在两坐标轴上的截距相等； （2），到直线l距离相等． 18．（12分）如图，在边长为2的正方体中，E，F分别是，CD的中点． （1）求证：平面； （2）求四面体的体积． 19．（12分）已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C． （1）求C的轨迹方程； （2）若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 20．（12分）如图，直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，其中，，，，N为中点． （1）若平面CMN交侧棱于点P，求证：，并求出AP的长度； （2）求平面CMN与底面ABCD所成角的余弦值． 21．（12分）如图，ABCD为边长是2的菱形，，平面ABCD，平面ABCD，，P为边BC上一点（与B，C两点不重合），使得EP与平面AEF所成的角为60°． （1）求BP的长； （2）求平面AEF与平面DPE所成角的余弦值． 22．（12分）已知，，P点满足． （1）求点P的轨迹的方程，并说明是何图形； （2）设T为直线上一点，直线TO，TA分别与相交于点B，C，求四边形OBAC面积S的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$2023~2024学年度第一学期期中学业水平诊断 高二数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷