精品解析：上海市黄浦区向明中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

向明中学2023学年第一学期高二年级数学期中 一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 已知一个球的半径为3，则这个球的表面积为_________. 2. 若平面，直线，直线，则点与的位置关系为________． 3. 若向量与向量共线，则__________. 4. 在正方体中，异面直线与所成角的大小是_______. 5. 如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为______． 6. 已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为，则该圆柱的体积为__________. 7. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是________． 8. 如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点.则的最小值为__________ 9. 已知向量，,则向量在向量方向上投影向量的坐标为___________． 10. 正方体棱长为是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为______. 11. 如图所示，在平行六面体中，底面为菱形，且，则侧棱与底面所成的角为__________． 12. 如图,在正方体中,点在线段上运动,有下列判断:①平面平面;②平面;③异面直线与所成角取值范围是;④三棱锥的体积不变.其中,正确的是________(把所有正确判断的序号都填上). 二、单选题（本大题共4题，每题4分，满分16分） 13. 若球的表面积扩大到原来的倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 15. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 16. 已知正方体的棱长为，分别为棱，上的动点，则四面体的体积最大值为（ ） A B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分48分） 17. 已知空间中的三点，，. （1）求的面积； （2）当与的夹角为钝角时，求k的范围． 18. 已知是底面边长为1的正四棱柱，高．求： ⑴异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）； ⑵四面体的体积． 19. 如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且. （1）求证：直线EC与平面ABD没有公共点； （2）求点C到平面BED距离. 20. 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，． （1）证明：； （2）线段上是否存在一点，使得直线垂直平面，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由． 21. 如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且． （Ⅰ）若为线段的中点，求证平面； （Ⅱ）求三棱锥体积最大值； （Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 向明中学2023学年第一学期高二年级数学期中 一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 已知一个球的半径为3，则这个球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据球的表面积公式求出答案. 【详解】设，则，故这个球的表面积为. 故答案为： 2. 若平面，直线，直线，则点与的位置关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本事实3（公理2）求解即可. 【详解】因为， 所以直线，直线， 因为直线，直线， 所以平面，平面， 又平面， 所以. 故答案为：. 3 若向量与向量共线，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量共线基本定理，可设，列出方程组，即可求得和的值，进而求出的值. 【详解】由向量与向量平行， 可设， 则，解得， 所以. 故答案为：. 4. 在正方体中，异面直线与所成角的大小是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线所成角定义，平移直线到使其与相交，解三角形即可． 【详解】如图， 在正方体中， 因为，所以为异面直线为与所成角， 又因为是以为直角的等腰直角三角形，所以， 即异面直线与所成角为． 故答案为：． 5. 如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件利用直观图与原图之间的面积关系得到的面积，进而得到. 【详解】因为，，