专练08 解析几何的二十个考查热点-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专练08 解析几何的二十个考查热点 热点题型速览 热点一 斜率、直线方程 1．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 2.（2023上·安徽合肥·高三合肥市第十中学校联考期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【点评】 1. 直线的斜率与倾斜角往往综合考查，特别要注意与导数的几何意义的交汇问题. 2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围． 热点二 直线与圆 3．（2020·全国·统考高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【点评】 直线与圆的问题，是高考命题的大热门，往往涉及直线、距离公式、圆的方程、圆的性质、直线与圆的“切交离”三种位置关系、圆与圆等，命题角度极为灵活.应特别注意判断直线与圆相切的几何法以及弦长的两种求法： (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． (2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 热点三 曲线与方程 5．（2020·全国·统考高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）设，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为常数，则下列结论正确的是（    ） A．时，点的轨迹为焦点在轴的双曲线（不含与轴的交点） B．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点） C．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点） D．时，点的轨迹为椭圆（不含与轴的交点） 【点评】 求轨迹方程或判断曲线类型，主要利用直接法、定义法、交轨法及待定系数法等． 热点四 椭圆的定义及其应用 7．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 8.（2023上·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）点在以为焦点的椭圆上，若线段的中点在轴上，则是的（    ） A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．7倍 9．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【点评】 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 热点五 求椭圆的标准方程 10.（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 11.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆G：，斜率为的直线l交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为，试写出椭圆G的一个标准方程 . 【点评】 确定椭圆方程的类型主要有：（1）利用定义法；（2）利用a,b,c，求得椭圆方程；（3）根据椭圆上的点求椭圆方程. 热点六 椭圆的几何性质 12.（2020·山东·统考高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 13.【多选题】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知曲线：为焦点在轴上的椭圆，则（    ） A． B．的离心率为 C．的短轴长的取值范围是 D．的值越小，的焦距越大 热点七 椭圆的离心率及其范围 14．（2021·全国·统考高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15.（2021·浙江·统考高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 . 【点评】 1.求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下： (1)直接求出a，c，利用离心率