专题1.6 直角三角形的边角关系章末九大题型总结（拔尖篇）-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.6 直角三角形的边角关系章末九大题型总结（拔尖篇） 【北师大版】 【题型1 构建直角三角形求锐角三角函数值】 1 【题型2 用等角转换法求锐角三角函数值】 2 【题型3 锐角三角函数与相似三角形的综合应用】 3 【题型4 锐角三角函数与圆的综合应用】 4 【题型5 解非直角三角形】 6 【题型6 巧设辅助未知数解直角三角形】 7 【题型7 构造直角三角形进行线段或角的计算】 8 【题型8 解直角三角形与圆的综合应用】 9 【题型9 构造直角三角形解决实际问题】 10 【题型1 构建直角三角形求锐角三角函数值】 【例1】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在四边形中，，，为边上的点，为等边三角形，，，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在中，，若，连接交于点，则的值为 ． 【变式1-2】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．    【变式1-3】（2023春·江苏常州·九年级校考期末）如图，在中，，，是边上的高，将绕点C旋转到（点E、F分别与点A、B对应），点F落在线段上，连接，则 ． 【题型2 用等角转换法求锐角三角函数值】 【例2】（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）已知点P在内，连接，在中，如果存在一个三角形与相似，那么就称点P为的自相似点，如图，在直角中，，如果点P为直角的自相似点，那么 ． 【变式2-1】（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在矩形中，连结，延长到点，使，过点作的平行线与的延长线交于点．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连结，若，则的值为________． 【变式2-2】（2023秋·上海黄浦·九年级统考期末）如图，平面上七个点A、B、C、D、E、F、G，图中所有的连线长均相等，则cos∠BAF= ． 【变式2-3】（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在中，对角线、交于点．点是边的中点，连接、，作．已知平分，平分，若，则的值为 【题型3 锐角三角函数与相似三角形的综合应用】 【例3】（2023春·九年级课时练习）如图，四边形为矩形，点为边一点，将沿折叠，点落在矩形内的点处，连接，且，的正弦值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·福建·模拟预测）如图，在矩形中，，，点、分别在边、上（不与端点重合），且于点．若，则 ． 【变式3-2】（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）如图，在中，，，将绕顶点C旋转得到，且使得恰好落在AB边上，与AC交于点D，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（    ） A． B． C． D．2＋2 【题型4 锐角三角函数与圆的综合应用】 【例4】（2023·广东惠州·校考模拟预测）如图，是的直径，点E为弧的中点，、交于点D，过A的切线交的延长线于F．    (1)求证：； (2)若，求的值． 【变式4-1】（2023·湖北武汉·校考三模）如图，是的直径，是的切线，交于，点是弧上一点，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【变式4-2】（2023·浙江杭州·校考三模）如图1，三角形内接于圆O，点D在圆O上，连接和，交于点E，    (1)求证：是直径； (2)如图2，点F在线段上，， ①求证：； ②若，用含k的表达式表示． 【变式4-3】（2023·广东湛江·统考二模）如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连、、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的值； (3)在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连、，若，求的值． 【题型5 解非直角三角形】 【例5】（2023·天津河北·统考二模）如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    【变式5-1】（2023春·九年级单元测试）在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=，则∠ABC的大小为 度． 【变式5-2】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期末）已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是 ． 【变式5-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知：在中，，，点E是的中点，F是直线上一点，连接，将