专题27.1 相似三角形重难点模型（1）（3大模型6种题型）-2023-2024学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题27.1 相似三角形重难点模型（1）（3大模型6种题型） 【题型1：8字型】 【题型2：反8字型】 【题型3：平行类A字型】 【题型4：不平行A字型】 【题型5：直角三角形中射影定理】 【题型6：非直角三角形中射影定理】 【题型1：8字型】 【基本模型】 【典例1】如图所示，点P是▱ABCD的边DC的延长线上一点，连结AP分别交BD、BC于点M、N． （1）图中有 　6　对相似三角形，请写出其中任意三对相似三角形． （2）求证：AM2＝MN•MP． 【变式1-1】如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，若DO＝2AO，AB＝3cm，则CD的长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式1-2】如图，在▱ABCD中，E是BA延长线上一点，CE分别与AD，BD交于点G，F．下列结论：①；②；③；④；⑤CF2＝GF•EF，其中正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-3】四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-4】如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且AE＝2ED，CE交对角线BD于点F，若S△DEF＝2，则S△BCF为（　　） A．4 B．6 C．9 D．18 【变式1-5】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E．若CE＝3AE＝6，则边AD的长是（　　） A． B． C． D．6 【变式1-6】如图，在平行四边形ABCD中，AE：BE＝1：2，若S△AEF＝3，则S△CDF＝（　　） A．27 B．18 C．9 D．3 【变式1-7】如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直BF与AC相交于点E，交CD的延长线于点G，若BE＝2，则EG的值为 　3　． 【变式1-8】如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P是AD上一点，AP＝2，连接BP与AC相交于点Q，则CQ的长为 　　． 【变式1-9】如图，点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点，直线CF交线段BA的延长线于点E． （1）求证：△AEF∽△DCF； （2）若AF：DF＝1：2，AE＝，S△AEF＝． ①求AB的长； ②求△EBC的面积． 【题型2：反8字型】 【基本模型】 【典例2】（2023春•清城区期中）已知Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，且CA＝CB． （1）求证：∠CAD＝∠CBD； （2）如图1，当点C和点D在AB的同侧时，求∠ADC的度数； （3）如图2，当点C和点D在AB的异侧时，△CBD绕点C顺时针旋转90°得△CAE，此时D、A、E三点共线．请判断AD、BD与CD三条线段的数量关系，并说明理由． 【变式2-1】已知△ABO∽△DEO，且BO：EO＝1：3，则△ABO与△DEO的面积比是（　　） A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1 【变式2-2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，D是BC的中点，G是AD的中点，则AE的长为 　　． 【变式2-3】如图所示，△ABC中，D、E为BC，AB上的两点，且AB＝3BE，S△ABD＝S△ADC，若△ABC面积为30，则四边形ODBE的面积为 　　． 【变式2-4】如图，AD、BC相交于点P，连接AC、BD，且∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，求BD的长． 【变式2-5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，CA＝CD，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E． （1）求证：△ABC∽△DBE； （2）如果BC＝5，BE＝3，求AC的长． 【变式2-6】已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，AD、BE是△ABC的两条高，BE与AD交于点Q． （1）求证：△BDQ∽△ADB； （2）如果，求∠C的正切值； （3）如果∠BAC＝60°，BE＝6，求△ABC外接圆的面积． 【变式2-7】（2023•新吴区二模）如图，正方形ABCD的边长为1，点F在CD边上，延长AD到点E，使得DE＝DF，连接CE． （1）求证：△ADF≌△CDE； （2）若延长AF与CE恰好相交于中点G，求DE的长． 【变式2-8】（2022•松江区二模）已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在