专题02 三角形 （压轴专练） -2023-2024学年八年级数学上学期期末综合复习专题提优训练（人教版）

专题02 三角形 （压轴专练） 目录 【题型一 三角形中高线的综合问题】 1 【题型二 三角形中中线的综合问题】 4 【题型三 三角形中角平分线的综合问题】 6 【题型四 三角形的内角和及外角和综合问题】 9 【题型五 多边形及其内角和的综合问题】 12 【题型一 三角形中高线的综合问题】 例题：如图，都是的高，过点A作交的延长线于点F，，，若，，则 ．    【变式训练】 1．在中，，，于D． （1）如图①，已知于E，求证： （2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证： （3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系． 2．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分 【经验发展】（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图1，的边上有一点，请证明： 【结论应用】（2）如图2，的面积为1，，求的面积； 【拓展延伸】（3）如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明： 【迁移应用】（4）如图4，中，是的三等分点，是的中点，若的面积是1，请直接写出四边形的面积_________________ 3．阅读下列材料： 阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在中，是的高，是边上一点，、分别与直线，垂直，垂足分别为点、． 求证：． 阳阳发现，连接，有，即．由，可得． 他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时、、之间的数量关系是：． 请回答： （1）请补全阳阳同学证明猜想的过程； 证明：连接．________， ________________． ，． （2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题： 在中，，是的高．是所在平面上一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点、、． ①如图3，若点在的内部，猜想、、、之间的数量关系并写出推理过程． ②若点在如图4所示的位置，利用图4探究得此时、、、之间的数量关系是：_______．（直接写出结论即可） 【题型二 三角形中中线的综合问题】 例题：如图，在中，，，，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是 ． 【变式训练】 1．如图，在中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足，，过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点若的面积为12，则四边形AEOD的面积为 ． 2．如图，的面积为1，第一次操作：分别延长，，至点，使，顺次连接，得到；第二次操作：分别延长至点，使，，，顺次连接，得到，…；按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少需经过 次操作. 3． 如图，AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线． （1）对于下面的五个结论：①BC=2BF；②∠CAE=∠CAB；③BE=CE；④AD⊥BC；⑤S△AFB=S△ADC．其中错误的是______(只填序号)； （2）若∠C=70°，∠ABC=28°，求∠DAE的度数． 【题型三 三角形中角平分线的综合问题】 例题：已知，，点C是直线，下方一点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，分别平分和，所在的直线相交于点H，若，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，若，分和两部分，且，，直线，相交于点H，则____________．（用含n和的式子表示） 【变式训练】 1．佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关. 测量数据如下表： 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与的平分 线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … （1）通过以上测量数据，请你写出与的数量关系：______. （2）如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由. 2．如图1，直线，和的角平分线交于点．    (1)求的度数； (2)如图，过的直线交于，交于，试找出，，的数量关系，并证明； (3)将过的直线逆时针旋转到图的位置，，，还满足（）的数量关系吗？若满足请证明，若不满足，请找到新的数量关系，并证明． 3.如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．    (1)求证：平分； (2)直接写出的度数______； (3)若，，且，求的面积． 【题型四 三角形的内角和及外角和综合问题】 例题：定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“微妙三角形”