7.4 三角函数应用（五大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

7．4 三角函数应用 课程标准 学习目标 （1）数学抽象：实际问题抽象为三角函数模型问题； （2）数据分析：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模 （3）数学建模：体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，提高学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力. （1）会用三角函数解决一些简单的实际问题. （2）体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 知识点01 函数中，，，的物理意义 1、简谐运动的振幅就是． 2、简谐运动的周期． 3、简谐运动的频率． 4、称为相位． 5、时的相位称为初相． 【即学即练1】已知正弦交流电（单位：）与时间（单位：）的函数关系为，求电流的峰值、周期、频率和初相位． 知识点02 三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 1、三角函数模型应用的步骤 （1）建模问题步骤：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题． （2）建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． 2、三角函数应用题的三种模式 （1）给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题． （2）给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题． （3）整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题． 3、三角函数模型应用注意点 （1）一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围． （2）应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学关系，并利用相关知识来理解． 【即学即练2】（2023·湖南·高一校联考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图是一个半径为6m的筒车，筒车转轮的中心到水面的距离为3m，每2分钟逆时针匀速旋转一圈.筒车上的一个盛水筒P（视为质点）从水中浮现（图中点A）时开始记时.建立如图平面直角坐标系，将P到水面距离表示为时间的函数，则 . 题型一：三角函数模型在物理学中的应用 例1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知某弹簧振子的位移（单位：cm）与时间（单位：s）满足，初始时将弹簧振子下压至后松开，经过测量发现弹簧振子每10s往复振动5次，则在第45s时，弹簧振子的位移是 cm. 例2．（2023·广东揭阳·高三统考期末）如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U（单位：V）和时间t（单位：s）满足.在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为 .（答案用分数表示）. 例3．（2023·北京西城·高一北京师大附中校考期中）从本质上来讲，声音实际上是一种简谐振动产生的机械波，也称声波.声音两个最主要的要素：响度和音调，分别由振动的振幅和频率刻画.其中最基本的声波就是简谐振动所产生的正弦波.纯音是以某个固定频率进行简谐振动所产生的声波，且纯音的函数可以表示为：，其中，，则这个函数的频率为 （写出表达式即可）（注：频率是周期的倒数）一般说的，，，，，，又是什么呢？这些唱名是音调的一种记法，音调与频率之间的关系为.已知标准音（也是纯音）的音调为，那么标准音对应的函数中 .已知标准音和标准音的频率比为，那么标准音的音调为 .（取，，结果精确到小数点后两位）. 变式1．（2023·高一课时练习）电流随时间变化的函数的图象如图所示，则时的电流为 ． 变式2．（2023·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度厘米满足下列关系：，，则每秒钟小球能振动 次. 变式3．（2023·高一课时练习）如果音叉发出的声波可以用函数描述，那么音叉声波的频率是 . 【方法技巧与总结】 处理物理学问题的策略 （1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 题型二：三角函数模型的实际应用 例4．（2023·全国·高一随堂练习）某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用