向量在解三角形中的应用专练-2024届高三数学一轮复习

向量在解三角形中的应用（新高考解答题专练系列） 一、解答题 1．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积记为S，已知，． (1)求A； (2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长． 2．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求B； (2)若的中线BD长为，求的最大值. 3．在①的平分线长为；②D为BC中点，；③为边上的高，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 中，角A，B，C的对边为，，，已知，. (1)求; (2)若 ，求的大小. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 4．在锐角中，，点为的外心. (1)若，求的最大值； (2)若， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 5．如图，在△ABC的边上做匀速运动的点D，E，F，当t＝0时分别从点A，B，C出发，各以定速度向点B，C，A前进，当t＝1时分别到达点B，C，A． （1）证明：在运动过程中，△DEF的重心保持不变； （2）若△ABC的面积为S，求△DEF的面积的最小值． 6．中，为的中点，为外心，点满足. （1）证明：； （2）若，设与相交于点，关于点对称，且，求的取值范围. 7．如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数 (1)若到弦的距离是， （i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值； （ii）求的取值范围； (2)若，记向量和向量的夹角为，求的最小值. 8．如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，已知．    (1)求的面积； (2)点为上一点，，过点的直线与边（不含端点）分别交于．若，求的值． 9．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且 (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值； (3)若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 向量在解三角形中的应用（新高考解答题专练系列） 一、解答题 1．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积记为S，已知，． (1)求A； (2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长． 2．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求B； (2)若的中线BD长为，求的最大值. 3．在①的平分线长为；②D为BC中点，；③为边上的高，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 中，角A，B，C的对边为，，，已知，. (1)求; (2)若 ，求的大小. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 4．在锐角中，，点为的外心. (1)若，求的最大值； (2)若， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 5．如图，在△ABC的边上做匀速运动的点D，E，F，当t＝0时分别从点A，B，C出发，各以定速度向点B，C，A前进，当t＝1时分别到达点B，C，A． （1）证明：在运动过程中，△DEF的重心保持不变； （2）若△ABC的面积为S，求△DEF的面积的最小值． 6．中，为的中点，为外心，点满足. （1）证明：； （2）若，设与相交于点，关于点对称，且，求的取值范围. 7．如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数 (1)若到弦的距离是， （i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值； （ii）求的取值范围； (2)若，记向量和向量的夹角为，求的最小值. 8．如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，已知．    (1)求的面积； (2)点为上一点，，过点的直线与边（不含端点）分别交于．若，求的值． 9．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且 (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值； (3)若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求的取值范围． 参考答案： 1．(1) (2) 【解析】（1）因为，所以，即， 由正弦定理可得，即 所以． 因为，所以． （2）设AE为BC边上的中线，可得， 如下图所示：    则， 所以，解得． 因为， 所以， 所以；由可得， 利用余弦定理可得， 所以． 2．(1) (2)8 【解析】（1）因为， 所以， 又， 所以， 所以， 整理得， 因为，所以，即， 因为，所以， 所以，得. （2）因为D为AC中点， 所以， 因为， 所以， 整理得， 所以，得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为8.    3．(1)3 (2). 【解析】（1）由及得， 即， 由余弦定理得， 所以． （2）若选①： 记，的平分线交BC于D， 则有， 即， 即，即，所以，   因为，所以，从而，即， 所以. 若选②： 由于D为BC中点，所以， 即， 又因为，，，所以， 即，所以，