4.3.2 等比数列的前n项和公式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课件PPT（人教A版）

4.3.2　等比数列的前n项和公式 第一课时　等比数列的前n项和公式 数学 学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式,了解推导等比数列前n项和公式的过程与方法,发展逻辑推理的核心素养. 2.能够运用等比数列的前n项和公式进行有关的计算及解决简单的实际问 题,增强数学建模与数学运算的核心素养. 3.掌握等比数列的前n项和的性质及其应用,提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 [问题1] (1)数列1,3,32,33,…,3n的首项和公比分别是多少? 知识探究 提示:(1)首项为1,公比为3. (2)把该数列的前n项和Sn=1+3+32+…+3n-1,① 两边同乘公比3得3Sn=3+32+33+…+3n,② 这两个等式的右边有何相同点?若用②式减去①式,会有什么结果? 数学 (3)对Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1(q≠1)按(2)的方法处理会怎样呢? 数学 1.等比数列的前n项和公式 [思考1] 等比数列{an}的前n项和公式中涉及a1,an,n,Sn,q五个量,已知几个量方可以求其他量? 提示:三个. 数学 B 数学 [问题2] (1)若数列{an}为等比数列,a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列吗? 提示:(1)a3+a4=q2(a1+a2),a5+a6=q2(a3+a4),所以a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比 数列. (2)若数列{an}为等比数列,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比数列吗? 提示:(2)成等比数列. 2.等比数列“片段和”性质 等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn(Sn≠0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,Skn-S(k-1)n,…构成公比为qn的等比数列. 数学 [做一做2] 在等比数列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,则S6等于(　 　) A.140 B.120 C.210 D.520 A 解析:因为S2=20,S4-S2=40, 且(S4-S2)2=S2×(S6-S4), 所以S6-S4=80,S4=40+S2=60, 所以S6=140.故选A. 数学 [问题3] 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题,等比数列是否也有相似的性质? 数学 3.等比数列“奇、偶数项和”的性质 若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项 和,则: [问题4] 你能从函数角度认识等比数列的前n项和公式吗? 数学 4.等比数列前n项和公式的函数特征 (1)若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前n项和Sn=A·qn+B(A≠0,B≠ 0,q≠0,q≠1,n∈N*),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和Sn=A· qn-A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*),则该数列必为等比数列. (2)如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列. [思考2] 若等比数列{an}的公比q不为1,其前n项和为Sn=Aqn+B,则A与B有什么关系? 提示:A=-B. 数学 [做一做3] 若数列{an}是等比数列,且其前n项和Sn=3n+1-3k,则实数k等于 　　　　 . 解析:因为Sn=3n+1-3k=3×3n-3k, 所以3=3k,即k=1. 答案:1 数学 师生互动·合作探究 [例1] 在等比数列{an}中, 探究点一 等比数列基本量的计算 数学 (2)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q; [例1] 在等比数列{an}中, 数学 (3)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n. [例1] 在等比数列{an}中, 数学 方法总结 (1)在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体 应用. (2)在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比 q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. (3)在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元. 数学 [针对训练] (1)已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,若a1=1,a6=8a3,则S5等于(　　) 数学 A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1 数学 [例2] (1)在等比数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,S2=3,S4=9,则S6等于 (　　) A.12 B.18 C.21 D.27 探究点二 等比数列前n项和的性质 解析:(1)法一　设数列{an}的公比为q, 因为S2=3,S4=9, 所