4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用（课件PPT）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册 【勤径学升·同步练测】（人教A版）

单击此处添加文本具体内容 第四章　数列 4.3　等比数列　4.3.2　等比数列的前n项和公式 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 [学习任务] 1.能用等比数列前n项和解决简单的数列应用问题.（重点） 2.掌握等比数列及其前n项和的综合应用问题的解法.（难点） 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 [对应学生用书第27页] 探究一　等比数列前n项和的实际应用 [例1]　如图,正方形ABCD的边长为5 cm,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H, 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 作第二个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第三个正方形IJKL,依此方法一直继续下去. （1）求从正方形ABCD开始,连续10个正方形的面积之和； [解]　设正方形ABCD的面积为a1,后继各正方形的面积依次为a2,a3,…,an,…,则a1＝25. 由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点,所以ak＋1＝ak. 因此,{an}是以25为首项,为公比的等比数列. 设{an}的前n项和为Sn. 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 （1）S10＝ ＝50×＝. 所以,前10个正方形的面积之和为cm2. 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 （2）如果这个作图过程可以一直继续下去,那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ （2）当n无限增大时,Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1＋a2＋a3＋…＋an＋…. 而Sn＝＝50, 随着n的无限增大,将趋近于0,Sn将趋近于50. 所以,所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 解决等比数列前n项和的实际应用问题的基本步骤 （1）将已知条件整理成数学语言,将实际问题转化为数学问题； （2）构建等比数列模型； （3）利用等比数列的前n项和公式求解等比数列问题； （4）将所求结果还原到实际问题中. 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 1.某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加. （1）设n年内（本年度为第1年）的总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an与bn的表达式； 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 解　（1）由题意知,第1年投入为800万元, 第2年投入为800万元,…, 第n年投入为800万元, ∴n年内的总投入an＝800＋800＋…＋800＝4000－4000×. 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400万元,…, 第n年旅游业收入为400万元, ∴n年内的旅游业总收入bn＝400＋400＋…＋400＝1600×－1600. 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 解　（2）旅游业的总收入超过总投入,即bn－an＞0, 即1600×－4000×＞0, 化简得5×＋2×－7＞0. 设x＝,代入上式并整理得5x2－7x＋2＞0, 解此不等式,得x＜或x＞1（舍去）, ∴＜. （2）至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入？（参考数值：lg 2≈0.301 0） 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 ∴lg＜lg,即n·lg＜lg, ∴n＞＝＝≈4.1. 又n∈N*,由此可得n≥5. 故至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入. 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 探究二　数列中的探索性问题 [例2]　已知{an}是公比为q的无穷等比数列,其前n项和为Sn,满足a3＝12, 　　　　⁠.是否存在正整数k,使得Sk＞2 020？若存在,求出k的最小值；若不存在,请说明理由.  从①q＝2,②q＝,③q＝－2这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分. ⁠ 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 [解]　当q＝2时,存在,kmin＝10. 当q＝时,不存在. 当q＝－2时,存在,kmin＝11. 理由分别如下： ①当q＝2时,a1＝3,an＝3·2n－1, Sn＝＝3·2n－3. 由3·2k－3＞2020,得2k＞674. ∵29＝512,210＝1024,∴当Sk＞2020时,kmin＝10. 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 ②当q＝时,a1＝48,an＝48·, Sn＝＝96－96·. 由96－96·＞2020,得－＞,不等式无解,此时不存在正整数k满足题意. 第2课时　等比数列前n项和的综合应用 ③当q＝－2时,a1＝3,an＝3·（－2）n－1, Sn＝＝1－（－2）n. 由1－（－2）k＞2020