4.2.1 等差数列的概念-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课件PPT（人教A版）

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第一课时　等差数列的概念与通项公式 数学 学习目标 1.通过生活中的实例,理解等差数列、等差中项的概念,发展数学抽象的核心素养. 2.掌握等差数列的通项公式,体会等差数列与一元一次函数的关系,增强逻辑推理、数学运算的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 [问题1] 观察下列现实生活中的数列,回答后面的问题. 我国有用12生肖纪年的习惯,例如,2017年是鸡年,从2017年开始,鸡年的年份为2017,2029,2041,2053,2065,2077,…;① 我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示,常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275,270,265,260,255,250,…;② 2022年1月中,每个星期日的日期为2,9,16,23,30.③ 以上数列①②③有什么共同的特点? 提示:从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数. 知识探究 数学 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于 常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母 表示. 同一个 公差 d 数学 ABC 数学 [问题2] 由等差数列的定义可知,如果1,x,3这三个数是等差数列,你能求出x的值吗? 提示:由定义可知x-1=3-x,即2x=1+3,x=2. 2.等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A= . A a+b 数学 解析:由题知,2m=1+5=6,m=3. 故选C. C 数学 [问题3] 在等差数列{an}中,a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d,能不能用a1与d表示an呢?怎样表示? 提示:把各式相加可得an-a1=(n-1)d,移项得an=a1+(n-1)d. 3.等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d. an+1-an 递推公式 通项公式 =d an= (n∈N*) a1+(n-1)d 数学 [思考] 等差数列与一次函数有什么关系? 提示:(1)公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合,这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上. (2)任给一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数),则f(1)=k+b,f(2)=2k+b,…,f(n)= nk+b,构成一个等差数列{nk+b},其首项为(k+b),公差为k. 数学 解析:(1)因为an-an-1=2n+5-(2n+3)=2, 所以{an}是公差为2的等差数列.故选A. [做一做3] (1)已知数列{an}的通项公式为an=2n+5,则此数列(　 　) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 答案:(1)A 数学 解析:(2)an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1. (2)已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为an= 　　　　.  答案:(2)3n-1 数学 师生互动·合作探究 [例1] 在等差数列{an}中, (1)已知a1=2,d=3,n=10,求an; 探究点一 等差数列的通项公式及应用 解:(1)a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29. (2)已知a1=3,an=21,d=2,求n; 解:(2)由an=a1+(n-1)d得3+2(n-1)=21, 解得n=10. 数学 解:(3)由a6=a1+5d得12+5d=27,解得d=3. [例1] 在等差数列{an}中, (3)已知a1=12,a6=27,求d; 数学 方法总结 等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项a1和公差d确定,所以要求等差数列的通项公式,只需运用方程思想求出首项a1与公差d即可. (2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n, an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,通常称之为“知三求一”. 数学 数学 [例2] 四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数. 探究点二 等差中项及应用 解:法一　设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d), 依题意,得2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8, 所以d2=1,所以d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以d>0, 所以d=1,