5.1 导数的概念及其意义-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课件PPT（人教A版）

第五章　一元函数的导数及其应用 5.1　导数的概念及其意义 5.1.1　变化率问题 5.1.2　导数的概念及其几何意义 数学 学习目标 1.通过对实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,达成数学抽象的核心素养. 2.理解函数的平均变化率、瞬时变化率,会求函数在某一点附近的平均变化率,发展数学运算的核心素养. 3.理解导数的概念,会利用导数的定义求函数在某点处的导数,增强逻辑推理与数学运算的核心素养. 4.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程,提升直观想象与数学运算的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 在实际生产生活中,我们需要研究一些物体的瞬时变化率,例如: 情境导入 提示:函数的导数. (1)摩托车的运动方程为s=8+3t2,其中s表示位移,t表示时间,知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛; (2)冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准; (3)净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本. 探究:上述实例中都涉及某个量的瞬时变化率,在数学意义上,这些实际上是某个量的函数的瞬时变化率,它在数学上称为什么? 数学 知识探究 (2)当Δt趋近于0时,问题(1)中的平均速度趋近于几?怎样理解这一速度? (1)如何求出该物体在[3,3+Δt]这段时间内的平均速度? 数学 1.平均速度与瞬时速度 (1)平均速度. [思考1] 如果某物体在某时间段内的平均速度为0,能否判定该物体在此时间段内的瞬时速度都为0? 提示:不能. 数学 数学 [问题2] (1)如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4),沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么? 提示:(1)当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于点P处的切线PT. (2)当点Pn无限趋近于点P时,割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系? 数学 2.割线的斜率和切线的斜率 (1)割线的斜率. 如图所示: 数学 (2)切线与切线的斜率. ①曲线的切线. 如图所示: 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的 称为曲线y=f(x)在点P0处的切线. 直线P0T 数学 [做一做2] 抛物线y=x2+1在点(1,2)处的切线的斜率是　　　　.  答案:2 数学 数学 (2)观察问题(1)中的计算结果,考虑当Δt趋近于0时,平均速度具有什么样的变化趋势? 提示:(2)当Δt趋近于0,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值-13.1. (3)从物理的角度看,事件间隔|Δt|无限变小时,平均速度无限趋近于哪个量?用极限符号如何表示? 数学 3.导数 (1)平均变化率. 数学 (3)导数的几何意义. 函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0,即k0= =f′(x0). 数学 [思考2] 函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系? 提示:(1)平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x=x0处变化的快慢. 数学 [做一做3] 设f(x)=2x+1,则f′(1)=　　　　.  答案:2 数学 师生互动·合作探究 角度1　求函数的平均变化率 探究点一 平均变化率与瞬时变化率 [例1] (1)(2021·东北师大附中高二月考)某物体沿水平方向运动,其前进距离s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=5t+2t2,则该物体在运动前 2秒的平均速度(单位:m/s)为(　　) 数学 (2)函数f(x)=x2+x在x=1到x=1+Δx之间的平均速度为(　　) A.Δx+2 B.Δx+3 C.2Δx+(Δx)2 D.3Δx+(Δx)2 数学 方法总结 (1)求函数平均变化率的三个步骤. 第一步,求自变量的变化量Δx=x2-x1; 第二步,求函数值的变化量Δy=f(x2)-f(x1); 数学 答案:(1)C 数学 答案:(2)k1>k2 数学 角度2　求瞬时速度 [例2] 某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)= t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度. 数学 变式探究1:若本例中的条件不变,试求物体的初速度. 数学 变式探究2:若本例中的条件不变,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 数