5.3.2 函数的极值与最大(小)值-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（人教A版）

5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第一课时　函数的极值与导数 学习目标 理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值,发展学生的直观想象与数学运算素养. 　　 “横看成岭侧成峰,远近高低各不同.不识庐山真面目,只缘身在此山中.”在群山之中,各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处,但却是其附近的最高点;同样,各个谷底虽然不一定是山谷的最低处,但却是其附近的最低点.群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部,山谷中的最低处是所有谷底的最低者的底部. 探究:观察图中的函数图象,指出其中是否有类似山峰、山谷的地方,如果有,应用什么数学语言来描述? 提示:有,应用函数的极大值和极小值来描述. 1.极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,就把 a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,就把 b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值. [思考1] 函数f(x)可以有多个极大值和极小值吗? 提示:可以.如函数f(x)=sin x,f(x)=cos x在R上有无数多个极大值和极小值. [做一做1] 已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)有(　C　) A.两个极大值,一个极小值 B.两个极大值,无极小值 C.一个极大值,一个极小值 D.一个极大值,两个极小值 解析:由题图可知导函数f′(x)有三个零点,依次设为x1<0,x2=0,x3>0,当x<x1时,f′(x)<0,当x1<x<0时,f′(x)>0,所以函数f(x)在 x=x1处取得极小值;当x1<x<x2时,f′(x)>0,当x2<x<x3时,f′(x)>0,所以函数f(x)在x=x2处无极值;当x>x3时,f′(x)<0,所以函数f(x)在x=x3处取得极大值.故选C. [问题1] (1)极大值一定比极小值大吗? (2)极值点会是区间的端点吗? 提示:(1)极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值.如图所示.f(a)为极大值,f(d)为极小值,但 f(a)<f(d). (2)极值点出现在区间的内部,端点不能是极值点. 2.函数极值的求法 解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时: (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值; (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值. [思考2] 极值点与极值有何区别? 提示:(1)函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点;极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的纵坐标. (2)极值点一定在区间的内部,端点不可能为极值点. [做一做2] 函数y=+ln x(　B　) A.有极小值y=0,无极大值 B.有极小值y=1,无极大值 C.仅有极大值y=1 D.无极值 解析:由y′=-+=0,得x=1,易判断x=1为极小值点,此时极小值y=1,无极大值.故选B. [问题2] (1)若f′(x0)=0,则x0一定是极值点吗? (2)函数的极值与单调性有什么联系? 提示:(1)若f′(x0)=0,则x0不一定是极值点,即f′(x0)=0是f(x)在x=x0处取到极值的必要不充分条件,函数y=f′(x)的变号零点,才是函数的极值点. (2)极值点两侧单调性必须相反,欲研究函数的极值,需先研究函数的单调性. 3.导数与极值的关系 一般来说,“f′(x0)=0”是“函数y=f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件.若可导函数y=f(x)在点x0处可导,且在点x0处取得极值,那么f′(x0)=0;反之,若f′(x0)=0,则x0不一定是函数y=f(x)的极值点.函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且f′(x)在x0左、右两侧的符号不同. [做一做3] 已知函数f(x)=2x3-ax2+2在x=2处取得极值,则实数a=　　　　.  解析:f′(x)=6x2-2ax,f′(2)=24-4a=0,所以a=6. 答案:6 　求函数的极值 角度1　不含参数的函数求极值 [例1] 求下列函数的极值: (1)f(x)=x3-3x2-9x+5; (2)f(x)=ln x-x2. 解:(1)因为f′