第五章 5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

第2课时　函数的最大(小)值 学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值． 导语 同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气概，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值． 一、极值与最值的关系 问题1　如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．你能找到函数的最大值和最小值吗？ 提示　最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在． 问题2　开区间上的连续函数有最值吗？ 提示　如图． 容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到． 知识梳理 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 例1　如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值． 解　由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b)． 反思感悟　最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 跟踪训练1　设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)的极值点一定是最值点 B．f(x)的最值点一定是极值点 C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点 D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点 答案　C 解析　根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确． 二、求函数的最值 例2　求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]； (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]． 解　(1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]， 所以f′(x)＝6x2－12 ＝6(x＋)(x－)， 令f′(x)＝0， 解得x＝－ 或x＝. 因为f(－2)＝8，f(3)＝18， f()＝－8，f(－)＝8， 所以当x＝时， f(x)取得最小值－8； 当x＝3时， f(x)取得最大值18. (2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0， 又x∈[0,2π]， 解得x＝或x＝. 因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f ＝＋， f ＝－. 所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. 反思感悟　求函数最值的步骤 (1)求函数的定义域． (2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)求极值、端点处的函数值，确定最值． 注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较． 跟踪训练2　求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]； (2)f(x)＝. 解　(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37， ∴当x＝4时，f(x)取最大值35. 当x＝－2时，f(x)取最小值－37. 即f