第01讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考） 第十章 计数原理、概率、随机变量及分布列 第1节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【考试要求】 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2.能解决简单的实际问题. 一、分类加法计数原理 　　完成一件事有两类不同的方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有N=　 　种不同的方法.  (1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成这件事；（2）各类方法之间是互斥的、并列的、独立的. 二、分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有N=　 　种不同的方法.  (1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只是各个步骤都完成了才能完成这件事；（2）各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏，但有时可以调换各步的顺序. 三、两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,缺一不可 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置. 1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事. 2.分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成. 1.下列说法错误的是（ ） A 在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同 B在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事． C在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成． D 在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 2、现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是(　　) A.65 B.56 C.30 D.11 3．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是(　　) A．2160 B．720 C．240 D．120 4、已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 5．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有________种． 考点一　分类加法计数原理 例1．（2020年新课标Ⅱ））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（    ） A．5 B．8 C．10 D．15 【对点演练1】(2023·太原模拟)现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值有(　　) A．3种 B．6种 C．7种 D．8种 【对点演练2】设I＝{1,2,3,4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有________个． 考点二　分步乘法计数原理 例2 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法(六名同学不一定都能参加)? (1)每人只参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，且每人至多参加一项； (3)每项限报一人，但每人参加的项目不限. 【对点演练1】（2023秋·山东·高三校联考阶段练习）某商店共有，，三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是品牌，乙买的不是品牌，则这三人买水杯的情况共有（    ） A．3种 B．7种 C．12种 D．24种 【对点演练2】(多选)(2022·武汉模拟)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是(　　) A．共有43种不同的安排方法 B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C．若A同学必