7.3 三角函数的图象和性质（十六大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

7．3 三角函数的图象和性质 课程标准 学习目标 （1）借助单位圆能画出三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值，提升直观想象和逻辑推理素养． （2）借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质，正切函数在上的性质，提升逻辑推理和数学抽象素养． （1）能根据正弦的定义，借助单位圆，在直角坐标系中作出图象上任意一点，并且能利用这一点的作图原理画出整个图象； （2）能利用正弦函数与余弦函数解析式的关系，得出其图象之间的关系，通过平移正弦曲线得到余弦曲线；能通过几何作图与代数运算两个角度得出三角函数的周期性与奇偶性；能根据图象得到正、余弦函数的最值；会画一些简单三角函数的图象并会求其简单的性质． 知识点01 周期函数 函数，定义域为，当时，都有，其中是一个非零的常数，则是周期函数，是它的一个周期． 知识点诠释： 1、定义是对中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说是的一个周期． 2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期． 【即学即练1】（2023·广东茂名·高一统考期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 知识点02 正弦函数图像与性质 1、正弦曲线 （1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线． （2）图象 知识点诠释： （1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质． （2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数． 2、正弦函数性质 函数 正弦函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点；最小值点 对称中心 对称轴 知识点诠释： （1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 【即学即练2】（2023·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）已知为偶函数，则（    ） A． B．6 C． D．3 知识点03 正弦型函数的性质 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数． 知识点诠释： 判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为． 【即学即练3】（2023·高一课时练习）函数图象的一个对称中心可以是（　　） A． B． C． D． 知识点04 余弦函数图像与性质 1、余弦曲线 （1）定义：余弦函数的图象分别叫做余弦曲线． （2）图象 知识点诠释： （1）由余弦曲线可以研究余弦函数的性质． （2）运用数形结合的思想研究与余弦函数有关的问题． 2、余弦函数的性质 函数 余弦函数 定义域 值域 奇偶性 偶函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点 最小值点 对称中心 对称轴 知识点诠释： （1）余弦函数的值域为，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求余弦函数的单调区间时，应先将变换为再求解，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 【即学即练4】（2023·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知函数，则是为奇函数的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 知识点05 余弦型函数的性质 函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到： （