精品解析：重庆市育才中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

重庆市育才中学校高2025届2023-2024学年（上）半期考试 数学试题 本试卷为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效； 3.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 下列直线中，倾斜角最大的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，空间四边形中，点分别为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 6. 彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则轨道椭圆的长轴长为______天文单位.（ ） A. 7.0490 B. 4.0770 C. 3.5245 D. 2.0385 7. 已知直三棱柱中，底面边长分别为、、3，高，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为双曲线两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 异面直线、的夹角余弦值为 10. 已知双曲线的离心率为，该双曲线的渐近线与圆交于、两点，则的可能取值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 11. 如图，在圆锥中，已知高.底面圆的半径为2，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列三个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线，则下面四个命题中正确的有（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆的面积为 C. 椭圆的长轴长为 D. 双曲线两渐近线的夹角 12. 设椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆上一动点，则下列说法不正确的有（ ） A. 面积最大值为 B. 直线与椭圆恒有两个公共点 C. 的最小值为9 D. 若，则的内切圆半径 第II卷 三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 张老师在课堂上与学生一起探究某双曲线的简单几何性质时，有四位同学分别给出了一个结论： 甲：该双曲线的实轴长为6 乙：该双曲线的虚轴长为8 丙：该双曲线的焦距长为5 丁：该双曲线的一条渐近线可以为 如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是______. 14. 已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程______. 15. 已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为______. 16. 已知椭圆：左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为______. 四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值. 19. 已知双曲线：与椭圆有相同的焦点，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于、两点，且，为坐标原点，求的值. 20. 已知圆经过两点、，且圆的圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若点为直线：上的动点，过点作圆的切线、，切点为、，求四边形面积的最小值，并出此时点的坐标. 21. 已知，如图（1）在五边形中，，，，，，现将沿折起得到图（2），且使得平面平面，在线段上. 图（1） 图（2） （1）若，求证：平面； （2）若，当为何值时，平面和平面夹角的余弦值为. 22. 在平面直角坐标系中，、为圆：与轴的交点，点