湖南省衡阳县第四中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（B卷）

博学 慎思 明辨 笃行 衡阳县第四中学2023-2024年上学期期中测试 高二数学测试卷（B） （试卷满分：150分；考试时间：120分钟；命题人：李祥辉） 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1、若直线过点，点，则此直线的倾斜角是( ) A. B. C. D. 2、过空间三点，，的平面的一个法向量是( ) A. B. C. D. 3、若点在圆的外部，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 4、已知空间向量，平面的一个法向量，则直线AB与平面所成角为( ) A. B. C.或 D.或 5、两平行直线，之间的距离为( ) A. B.3 C. D. 6、已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为( ) A. B. C. D. 7、如图，在空间直角坐标系Cxyz中，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M在线段EF上，且平面BDE，则点M的坐标为( ) A. B. C. D. 8、唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A. B.5 C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分） 9、直线上与点的距离等于的点的坐标是( ) A. B. C. D. 10、在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则( ) A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为 C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为 11、已知动直线与圆相交于A，B两点，则下列说法正确的是( ) A.直线l过定点 B.圆C的圆心坐标为 C.弦AB的最小值为 D.弦AB的最大值为4 12、椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，则以下说法正确的是( ) A.过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8 B.椭圆C上存在点P，使得 C.椭圆C的离心率为 D.P为椭圆C上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为3 三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13、设，，若，则___________. 14、已知直线与直线垂直，则________. 15、已知椭圆中, ,为椭圆的左、右焦 点, ,为椭圆的上、下顶点, 若四边形是有一个顶 角为的菱形, 则椭圆的离心率为__________ 16、《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形ABCD为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线AE与CF所成角的大小为__________. 四、解答题（本题共6小题，共70分） 17、（本小题共10分）已知，，，，且，. (1)求； (2)求向量与夹角的大小. 18、（本小题共12分）已知两条直线和，求满足下列条件的a，b的值. （1）且过点； （2），且原点到这两条直线的距离相等. 19、（本小题共12分）如图,在正方体中,,E,F分别是BD,的中点． （1）求异面直线与BF所成角的余弦值； （2）求点到平面BDF的距离． 20、（本小题共12分）已知圆C关于直线对称，且过点和原点O. (1)求圆C的方程； (2)相互垂直的两条直线，都过点，若，被圆C所截得的弦长相等，求此时直线的方程. 21、（本小题共12分）如图，正三棱柱的所有棱长均为2，D为棱(不包括端点)上一动点，E是AB的中点. (1)若，求BD的长； (2)当D在棱(不包括端点)上运动时，求平面与平面ABC的夹角的余弦值的最大值. 22、（本小题共12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆C交于A，B两点. （1）求椭圆C的方程. （2）是否存在实数k，使点在线段AB的中垂线上？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 参考答案 1、答案：A 解析：由，得此直线的倾斜角为.故选A. 2、答案：A 解析：，.设该平面的法向量为，则所以即令，得. 3、答案：C 解析：由题意可知，解得或，则实数a的取值范围是，故选C. 4、答案：A 解析：设直线AB与平面所成角为，则，又，所以，即直线AB与平面所成角为. 5、答案：A 解析：直线， 直线， 所以两平行直线之间的距离.故选A. 6、答案：B 解析：设焦距为2c.因为的周长为18，所以，所以.因为长半轴长为5，即，所以，所以椭圆C的离心率.故选B. 7、答案：C 解析：方法一：由题意，