第三十章 专题3 二次函数中的整数点问题-【初中必刷题】2023-2024学年九年级下册数学同步课件（冀教版）

数学 九年级下册 冀教版 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第三十章 二次函数 专题3 二次函数中的整数点问题 5 刷难关 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 已知范围求整数点个数 1.【2023河北邯郸质检，中】在平面直角坐标系中，我们把横、 纵坐标都是整数的点叫做整点，则抛物线 与直线 所围成的阴影部分（不包括边界）的整点有___个. 7 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 【解析】 由 解得 或 抛物线 与直线 的交点为 ， .当 时， ， ;当 时， ， ;当 时， ， ;当 时， ， ;当 时， ， ， 抛物线 与直线 所围成的阴影部分 （不包括边界）的整点有 ， ， ， ， ， ， ,共7个，故答案为7． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 关键点拨 求得一次函数和二次函数图像的交点坐标是解题的关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 2.【2023山东临沂期末，较难】如图，直线 与 轴交 于点 ，直线 与 轴交于点 ，抛物线 的顶点为 ，且与 轴的左交点为 （其中 ）. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 （1）当 时，在抛物线的对称轴上求一点 ,使得 的周长最小； 【解】当 时， ， ，直线 , ， ， ， 抛物线 的表达式为 ， 抛物线的对称轴为直线 ， ， ， 两点关于 对称轴对称.连接 ,则 ， ， 当 ， ， 三点共线时， 周长最小，此时点 为直线 与对称轴的交点， 当 时， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 （2）当点 在直线 上方时，求点 到直线 距离的最大值； 【答案】 ， 抛物线 的顶点 的 坐标为 . 点 在直线 上方， 到直线 的距离为 ， 点 到直线 距离的最大值为1. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 （3）若把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.当 时，求出在抛物 线和直线 所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数. 【答案】 当 时，抛物线表达式为 ，直线 ，联立上述两个表达式,得 可得 ， .易知在每个函数中,每一个整数 的值都对应一个整数 值，且 和1之间（包括 和1）共有2 024个整数.又 所围成的封 闭图形边界有线段和抛物线两部分， 线段和抛物线上各有2 024个“整点”.又 这两段图像有2个交点， “整点”的个数为 .故当 时,抛物线和直线 所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数为4 046． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 思路分析 （1）由题意求出 ，得出抛物线的表达式为 ,从而得出对称轴为直线 .由对称性知当 , , 三点共线时， 周长最小，此时点 为直线 与对称轴的交点，由此即可求出点 的坐标. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 类型2 已知整数点个数求范围 3.【2022河北石家庄质检,中】开口向下的抛物线 与 轴交于 , 两点，当抛物线与 轴围成的封闭区域（不包含边界）内仅有4个整数点（整 数点就是横、纵坐标均为整数的点）时， 的取值范围是_ ____________． <m></m> 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 【解析】 ， 抛 物线与 轴交点坐标为 , ,顶点坐标为 ． 当 时， ， 抛物线与 轴的交点坐标为 .由图可知，若抛物线 与 轴围成的封闭区域（不包括边界）内仅有4个整数点， 则 解得 .故答案为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 4.【2022浙江宁波鄞州区期末，较难】定义：在平面直角坐标系中，若点 满足 横、纵坐标都为整数，则把点 叫做“整点”．如： , 都是“整 点”．当抛物线 与其关于 轴对称的抛物线围成的封闭 区域内（包括边界）共有9个整点时， 的取值范围是_ _________. <m></m> 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 【解析】 若抛物线 与其关于 轴对称的抛 物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，则 轴上 有3个整点，且 轴上方、下方各有3个整点. ， 抛物线的开口向上,