江西省九江第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

九江一中2023-2024学年度高二上学期期中考试数学试卷 命题人:杨艳萍 审题人:黄志明 一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 1.若,则( ) A. B. C. D. 2.平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,且,则的值( ) A.3 B.-4 C.-3 D.4 3.已知双曲线的离心率为,则渐近线方程是( ) A. B. C. D. 4.在正方体中,,,,分别为,,,的中点,则异面直线 与所成的角大小等于( ) A.60 B.45 C.30 D.90 5.圆的圆心在抛物线上,则该抛物线的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 6.设,,是互不重合的平面,,是互不重合的直线,给出四个命题: ① 若,,则 ②若,,则③若,,则 ④若,,则,其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.椭圆:的左、右焦点分别为,,若与抛物线的焦点重合,椭圆与过点的幂函数的图象交于点,且幂函数在点处的切线过点,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 8.已知平面向量满足,则与夹角的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9.如图,在正方体中,点在线段上运动,则下面结论中正确的是( ) A.点到平面的距离为定值 B.三棱锥的体积为定值 C.异面直线与直线所成的角为定值 D.直线与平面所成线面角为定值 10.过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于、两点,则( ) A.存在四条直线,使 B.存在直线,使弦的中点为 C.与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 D.若,都在该双曲线的右支上,则直线斜率的取值范围是 11.给出下列命题正确的是( ). A.直线l的方向向量为,平面的法向量为,则l与平行 B.直线的倾斜角的取值范围是 C.点到直线的的最大距离为 D.已知A,B,C三点不共线,对于空间任意一点O,若, 则P,A,B,C四点共面 12.某学校数学课外兴趣小组研究发现:椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆,称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题:已知椭圆的离心率为,,为C的左､右焦点且,A为C上一动点,直线.说法中正确的有( ) A.椭圆C的“伴随圆”的面积为 B.对直线l上任意点P,都有 C.椭圆C的标准方程为 D.椭圆C的“蒙日圆”的两条弦PM､PN都与椭圆C相切,则面积的最大值为6 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知 则 14.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点,若点P为椭圆C上一点,则 的最大值为_. 15.已知分别为双曲线的左右焦点,过且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点,记的内切圆半径为的内切圆半径为.若,则 . 16.如图,是边长为的正三角形的一条中位线,将 沿翻折至,当三棱锥的体积最大时, 四棱锥外接球的表面积为 ;过靠近点的 三等分点作球的截面,则所得截面圆面积的最小值是 . 五、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题10分)在中,角,,所对的边分别为,,,且. (1)求的值; (2)若,,求的面积. 18.(本小题12分)已知圆的圆心在直线上,且经过点和. (1)求圆的标准方程; (2)若自点发出的光线经过轴反射后,其反射光线所在的直线与圆相切,求反射光线所在直线的方程. 19.(本小题12分)如图,在四棱锥中,面ABCD,,,,,E是PA的中点,G在线段AB上,且满足. (1)求证:∥平面PBC (2)求直线与平面所成角的正弦值. 20.(本小题12分)已知抛物线的焦点为,抛物线上一点横坐标为3,且点到焦 点的距离为5. (1)求抛物线的方程; (2)过点作直线交抛物线于点,求面积的最小值(其中为坐标原点). 21.(本小题12分)已知 ABC是等边三角形,点M,N满足,,将 AMN沿MN折起到的位置,使. (1)求证:平面MBCN; (2)在线段BC上是否存在点D,使平面与平面夹角的余弦值为?若存在,求的值;若不存在,说明理由. 22.(本小题12分)已知为圆:上任一点,,,,且满足. (1)求动点的轨迹的方程; (2)过点的直线与轨迹相交于,两点,是否存在与点不同的定点,使恒成立?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.