卡西尼卵形线在高考中应用 讲义——2024届高三数学一轮复习

高中数学拓展 卡西尼卵形线在高考中的应用 卡西尼卵形线是法国数学家卡西尼在研究土星的运行轨道时提出的，但是近年来在高考试题和模考中经常出现，考察学生通过方程来研究曲线的性质的能力，体现了创新思维. 定义：到两个定点（焦点）的距离之积为常数的点的轨迹，是卡西尼卵形线. 当a<c时，轨迹是两支封闭曲线，有点像两个鸡蛋，这也是卵形线名字的由来； 当a=c时，轨迹是伯努利双纽线. 当时，轨迹是中部凹进的封闭曲线； 当时，轨迹是中部扁平的封闭曲线； 当时，轨迹是中部凸出的封闭曲线. 证明：取为x轴，中点为原点，建立直角坐标系. 则 整理得：当时，退化为双纽线方程。卵形线的形状由决定。 若，轨迹是一个封闭的圈若，轨迹是二个封闭的圈，若，轨迹是伯努利双纽线。 例1 （2011年北京高考数学卷第14题改编） 曲线C是平面内与两个定点的距离的积为常数的点的轨迹。给出下列三个结论： （1）曲线C过坐标原点 （2）曲线C关于坐标原点对称 （3）曲线关于坐标轴对称 （4）若点P在曲线C上，则的面积为大于 详解：不妨设曲线上任意点由曲线线C的定义可知： 将代入可得即与矛盾，故选项A错误 对于B，将 代入曲线C的方程可得 化简可得，方程不变，故曲线关于原点对称，故选项B正确 对于C；将代入曲线C的方程，方程不变，说明曲线C关于坐标轴对称，故C正确 对于D；当且仅当时取= 例2（2023-2024苏州三校联考） 小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设、是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P的横坐标的取值范围是；③的取值范围是；④的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】令，则， 所以，则， 将、、代入上述方程后，均有， 所以曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形，①正确； 令，则， 对于，对称轴为， 所以在上递增，要使在上有解，只需， 所以，即，可得，②正确； 由，由中，， 所以，其中负值舍去， 综上，，又，即， 所以，则，③正确； 由，当且仅当时等号成立， 的面积， 而，所以， 所以的面积的最大值为1，④正确. 综上，正确结论的个数为4个. 故选：D 例3（ 2023届广州一模 ）平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线。他是1675年研究土星及其轨道时提出的。已知在平面直角坐标系中，动点P满足则下列结论正确的是（ ） A 动点P的横坐标的取值范围是； B 的取值范围是； C 的面积的最大值为. D 的取值范围为 详解：设P点坐标为，则. 对于A， A错误 对于B 则 因此，B正确； 对于C,的面积为。当且仅当 时取=.C正确 对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P在此点上，，D错误，故选：BC 例4（2021湖北高二月考） 2022卡塔尔世界杯会徽如图正视图近似伯努利双纽线 把到两个定点（焦点）的距离之积为常数的点的轨迹，是双纽线C上的一点，下列说法正确的有（ ）. A 双纽线C关于原点O对称 B C 双纽线C上满足的点P有2个 D 的最大值为 详解：对于A，根据双纽线的定义可得 用替换方程中的方程不变，所以双纽线C关于原点O对称，所以A正确； 对于B，根据三角形的面积法可知 即，所以所以B正确 对于C，若双纽线C上的点P满足则点P在y轴上，即 所以则，所以这样的点P只有一个，故C错误 对于D,因为所以 由余弦定理得 所以 所以的最大值为，故D正确，故答案为：ABD 例5 （2021贵阳高三)）Cassni卵形线是由法国天文学家卡西尼引入的，定义是：曲线C到两个固定点（焦点）的距离之积为常数的点的轨迹，设的距离为2a，若就得到没有自交点的卵形线，若就得到一个双纽线，若就得到两个卵形线.若动点P满足，则动点P的轨迹方程为 若是轨迹C与轴交点中距离最远的点，则面积的最大值为 详解：设P的坐标为 由可得即即所以动点P的轨迹方程为 令可得解得所以 由对称性，故只考虑第一象限的部分 因为.为定值，所以面积最大时，即点P的纵坐标最大. 所以 令则 ，当时，取得最大值 所以所以 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$