第7章 专题6 立体几何中的最短路径问题-【初中必刷题】2023-2024学年九年级下册数学同步课件（青岛版）

数学 九年级下册 青岛版 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第7章 空间图形的初步认识 专题6 立体几何中的最短路径问题 5 刷难关 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 直棱柱中的最短路径 1.【2023山东聊城期末，中】图（1）是边长为1的六个正方形组成的图形，经过 折叠能围成如图（2）的正方体，一只蜗牛从 点沿该正方体的棱爬行到 点的最 短距离为( ) 图（1） 图（2） C A.0 B.1 C.2 D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 【解析】由题图可知，蜗牛从 点沿该正方体的棱爬行到 点的最短距离为2，故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 2.【2022山东枣庄山亭区期中，中】如图，长方体底面的长和宽分 别为 和 ，高为 .若一只蚂蚁从 点开始经过四个 侧面爬行一圈到达 点，则蚂蚁爬行的最短路程为_ ____ . <m></m> 【解析】 长方体的侧面展开图如图： 由题意可知，蚂蚁爬行的最短路程为 .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 归纳总结 求长方体中两点之间的最短路程，最直接的做法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 3.【2022山东潍坊校级期中，较难】吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬时路程最短”的课题研究时设计了以下问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁爬行的最短路程. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 （1）如图（1），正方体的棱长为 ，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点 沿正 方体表面爬到点 处； 图（1） 【解】把正方体的两个面展开，如图（1），连接 , 即为蚂蚁需爬行的最短路径. . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 （2）如图（2），长方体底面是边长为 的正方形，高为 ，一只蚂蚁欲 从长方体底面上的点 沿长方体表面爬到点 处. 【答案】 把长方体的两个面展开，分两种情况： ①如图（2），连接 ； ②如图（3），连接 . 因为 ，所以蚂蚁需要爬行的最短路程为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 类型2 圆柱中的最短路径 4.【2022山东潍坊昌邑调研，中】如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺 旋式爬行，圆柱底面圆直径为 ,高为 ,假设蚂蚁绕圆柱外 壁从点 爬到点 ，圆周率 取近似值3，则蚂蚁爬行的最短路径 长为( ) A A. B. C. D. 【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，设点 正下方为点 ,连接 , 则 .底面圆周长为 ， .在 中，根据勾股定理得 .故选A. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 类型3 圆锥中的最短路径 5.【2022山东东营校级调研，中】如图，圆锥的轴截面是边长为6的 正三角形 ， 是母线 的中点，则在圆锥的侧面上从 点到 点的最短路径的长为_ ____. <m></m> 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 【解析】 圆锥底面是以 为直径的圆，圆的周长是 ，则以 为一边，将 圆锥的侧面展开，就得到一个以 为圆心，以 的长为半径的扇形，弧长是 . 设展开后的圆心角是 ，则 ，解得 ，即展开后 ， ， ， 在圆锥的侧面上从 点 到 点的最短路径的长就是展开后线段 的长， 由勾股定理得 .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 刷有所得 圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 6.【2023山东青岛调研，中】如图（1），圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只 蚂蚁要从底面圆周上一点 出发，沿圆锥侧面爬到过母线 的轴截面上另一母 线 上，圆锥侧面展开图如图（2）,问它爬行的最短路线的长是多少？ 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 【解】将圆锥沿 展开成扇形 ,则点 是 的中点. 过点 作 ,垂足为 ,则最短路线为 .圆锥的底面周长为 .设侧面展开图的圆心角的度数为 .