第26章 专题2 二次函数中的最值问题-【初中必刷题】2023-2024学年九年级下册数学同步课件（华东师大版）

数学 九年级下册 HS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第26章 二次函数 专题2 二次函数中的最值问题 5 刷难关 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 线段长的最值 1.【2023重庆九龙坡区质检，中】如图，过抛物线 上一点 作 轴的平行线，交抛物线于另一点 ，交 轴于点 ， 已知点 的横坐标为 ，在 上任取一点 ，连结 ，作点 关于直线 的对称点 ，连结 ，则 的最小值为 _ __________. <m></m> 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 7 【解析】 当 时， ， 抛物线的对称轴为直线 ， , 关于对称轴对 称， .由题意可知,点 在以 为圆心, 长为半径 的圆上，如图，连结 ， ， 当 , , 共线时， 的 长取得最小值,最小值为 .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 8 思路分析 先确定点 的坐标，求出对称轴，再根据对称性可得点 的坐标，由题意可知点 在以 为圆心， 长为半径的圆上，由此推出当 ， ， 共线时， 的长取得最小值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 9 类型2 周长的最值 2.【2022四川凉山州质检，中】如图，已知抛物线 经过 ， ， 三点， 直线 是抛物线的对称轴. （1）求抛物线的表达式； 【解】 抛物线经过 ， ， 设函数表达式为 . 将 代入，得 ，解得 , 抛物线 的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 10 （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 的周长最短？若存在， 求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 11 【答案】 存在.抛物线 的对称轴为直线 点 在对称轴上，且 的周长最短， 的值最小. 连结 交直线 于点 ，如图. 点 ，点 关于直线 对称， 此时 的值最小.设直线 的表达式为 ， ， 解得 直线 的表达式为 . 当 时， ， 点 ， 在抛物线的对称轴上存在一 点 ，使得 的周长最短，此时 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 3.【2023江苏南京鼓楼区调研，中】如图，平行四边形 与抛 物线 相交于点 ， ， ，点 在抛物线的对 称轴上，已知点 ， . （1）求抛物线的表达式； 【解】 ， ， ，即抛物线对称轴为直线 ， 解得 则抛物线的表达式为 . 思路分析由点 的坐标和 的长求出点 的坐标，从而确定抛物线的对称轴，再 利用对称轴和已知点 的坐标列出关于 , 的方程组即可求解； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 13 （2）在对称轴上找一点 ，使得 的周长最小，求出此时点 的坐标. 【答案】 平行四边形 中， ， ，点 ， 在抛物 线上， 点 ， 关于抛物线的对称轴对称.又 抛物线对称轴为直线 ， 点 的横坐标为 ，把 代入 ，得 ， .连结 ，交对称轴于点 ，连结 点 与点 关于对称轴对称， ， 此时 的周长最 小.设直线 的表达式为 ，根据题意可得 解得 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 14 直线 的表达式为 .把 代入 ，得 ， 点 的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 思路分析在 中， 的长为定值，若三角形的周长最小，则 的长最小.连结 ，与对称轴的交点即为所求的 点.先求出直线 的表达式，然后将 点横坐标，即 代入即可求得 点的坐标. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 16 类型3 面积的最值 4.【2022湖北十堰期中，中】如图，抛物线 经过点 ， ，与 轴交于点 ，点 是抛物线上 的一个动点，设 的横坐标为 ，连结 , , . （1）求该抛物线的表达式； 【解】设抛物线的表达式为 当 时， , , ，解得 .故抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 17 （2）当 时，求 点的坐标； 【答案】 当 时，易得点 ， 关于抛物线的对称轴对称. 抛物线 的对称轴为直线 ， , 点 的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 18 （3）连结 ，求 面积的最大值及此时点 的