专题21 椭圆的几何性质6种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题21 椭圆的几何性质6种常见考法归类 1、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 范围 x∈[－a，a]， y∈[－b，b] x∈[－b，b]， y∈[－a，a] 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴|B1B2|＝2b，长轴|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0＜e＜1) 注：（1）椭圆上的点到焦点的最大距离：a＋c，最小距离：a－c． （2）椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义：在方程＋＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形． 2、椭圆的几何性质 （1）已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． （2）焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标． 提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍． 3、利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项 1用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法. 2根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程. 3在求解a2、b2时常用方程组思想，通常由已知条件与关系式a2＝b2＋c2，e＝等构造方程组加以求解. 4、求椭圆离心率的关键是： 根据e＝，a2－b2＝c2，可知要求e，关键是找出a，b，c的等量关系． 5、a，b，c对椭圆形状的影响： 6、求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝求解． (2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 椭圆的几何性质 考点二 利用几何性质求椭圆的标准方程 考点三 点和椭圆的位置关系 考点四 求椭圆的离心率 考点五 直线和椭圆的位置关系 考点六 弦长和中点弦问题 考点一 椭圆的几何性质 1．（2023上·高二课时练习）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）首先确定焦点位置在轴上，即可计算出的大小，即可求出结果； （2）根据标准方程可知其焦点在轴上，确定的大小算出结果即可； （3）将方程变形成标准方程形式，确定焦点位置在轴上，即可求出结果. 【详解】（1）由椭圆方程可知其焦点在轴上，所以，则， 所以该椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为； 上下顶点坐标为，左右顶点坐标为； 上下焦点坐标为，离心率. （2）由椭圆方程可知其焦点在轴上， 可得，则， 所以该椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为； 上下顶点坐标为，左右顶点坐标为； 左右焦点坐标为，离心率. （3）将椭圆方程整理变形成标准方程可得，易知其焦点在轴上， 所以，则， 所以该椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为； 上下顶点坐标为，左右顶点坐标为； 左右焦点坐标为，离心率. 2．（2023上·云南迪庆·高二校考期中）已知椭圆的一个焦点为，则实数的值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．5 【答案】D 【分析】由条件可得椭圆的焦点在轴上，根据椭圆中关系可得出答案. 【详解】由条件可得椭圆的焦点在轴上，即, 则，解得 故选：D 3．（2023上·湖北·高二随州市曾都区第一中学校联考期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率和焦距即可判断. 【详解】解：椭圆的长轴长为，短轴长为， 离心率为，焦距为； 椭圆的长轴长为，短轴长为， 离心率为，焦距为； 故两个椭圆的焦距相等. 故选：C. 4．【多选】（2023上·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知椭圆：，在下列结论中正确的是（    ） A．长轴长为8 B．焦距为 C．焦点坐标为 D．离心率为 【答案】ABD 【分析