内容正文：
卡西尼卵形线
1．法国天文学家乔凡尼·多美尼科·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，两个定点，曲线是到两个定点的距离之积为的点的轨迹，以下结论正确的有（ ）
A．曲线关于轴对称
B．曲线可能过坐标原点
C．为曲线上任意一点，当时，点纵坐标的取值范围为
D．若曲线与椭圆有公共点，则
2．在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）.在平面直角坐标系xOy中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：.则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于y轴对称 B．的最小值为
C．面积的最大值为 D．的取值范围为
3．若点A(－1，0)，B(1，0)，P满足，则点P的轨迹C的方程为＝ ，设M，N是轨迹C与x轴的两个交点，则△PMN面积的最大值为 ．
4．曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则的面积不大于，其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称美、艺术美，而且是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C经过7个整点(横、纵坐标均为整数的点)
B．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2
C．曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为
D．当|k|≥1，则直线y＝kx与曲线C只有一个交点
6．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹成为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（ ）．
A．双纽线关于原点中心对称；
B．；
C．双纽线上满足的点有两个；
D．的最大值为.
7．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的远行规律时发现的.在平面直角坐标系中，设到与两点的距离之积为2的点的轨迹为曲线，则（ ）
A．
B．曲线关于原点对称
C．曲线围成的面积不大于7
D．曲线C上任意两点之间的距离不大于3
8．2022年是发现土星卫星和土星环缝的天文学家乔凡尼·卡西尼逝世310周年，卡西尼曾对把卵形线描绘成轨道有兴趣.卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有点连接形成的图形，设一条卡西尼卵形线R方程为 ，其两焦点直角坐标系坐标为和，动点P是R上一点，则最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
9．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点的横坐标的取值范围是
B．的取值范围是
C．面积的最大值为
D．的取值范围是
10．为纪念法国天文学家乔凡尼·多美尼科·卡西尼，数学史上，把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassini Oval）．在平面直角坐标系内，曲线C是到两个定点，的距离之积为5的点的轨迹．以下结论正确的有（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C与y轴的交点为
C．对于曲线C上任意一点P，均满足
D．曲线C上存在点P，使得的面积为3
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．ABD
【分析】令曲线上任意点为得，将代入验证方程是否恒成立判断A；令，将原点代入验证判断B；令代入方程求得，再比较大小判断C；由代入曲线，整理得，结合椭圆的有界性求参数t的范围判断D.
【详解】令曲线上任意点为，则，
将代入得，
所以曲线关于轴对称，A对；
当，显然在曲线上，B对；
当，若，则，
所以，则，
此时，即，故点纵坐标范围不为，C错；
由，则，故
，所以，
而，即或，所以或（舍），
故曲线与有公共点，则，D对.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：对于A只需代入验证方程恒成立，对于B应用特殊值，令并将原点代入验证；对于C只需验证时的y值情况；对于D注意联立方程，结合椭圆有界性求范围.
2．ABD
【分析】根据条件得到，从而求得，利用换元法，令，得到，对于A选项：令即可判断；对于B选项：结合条件利用基本不等式得到即可判断；对于C选项：由面积为即可判断；对于D选项：根据两点间的距离公式和条件得到即可判断.
【详解】由题意得：，
即，则，解得：，
令，则，所以.
对于A选项：方程中的x换成方程不变，所以曲线C关