重庆市第七中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

重庆市第七中学校2023-2024学年度上期 高2025级期中考试数学试题 （满分150分，考试时问120分钠） 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2 已知点，直线与直线AB垂直，则实数（ ） A. B. C. 4 D. 3. 若点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4 已知向量，，且，则（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，则满足为直角三角形的点有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 7. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 8. 定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（ ） A. B. 4 C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 9. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 设，是两个空间向量，则 B. 若空间向量，满足，则 C. 若空间向量，，满足，，则 D. 在正方体中，必有 10. 已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的为（ ） A. 两圆外切 B. 两圆有两条公切线 C. 直线的方程为 D. 线段的长为 11. 如图，一个底面半径为圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面为椭圆，若，则（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程可以为 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 12. 如图，棱长为正方体中，点、满足，，其中、，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 当时，若平面，则的最大值为 C. 当时，若，则点的轨迹长度为 D. 过、、三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为______. 14. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 15. 已知圆：上有且只有三个点到直线：距离为1，则________. 16. 在三棱锥中，底面，，，为的中点，球为三棱锥的外接球，是球上任一点，则三棱锥体积的最大值为____________． 四、解答题（共70分） 17. 已知△ABC的顶点，C在y轴上. （1）已知直线l过点A且在两条坐标轴上的截距之和为6，求l的方程； （2）若C到直线AB的距离为，求点C的坐标. 18. 在直三棱柱中，D、E分别是、的中点，，，. （1）求证：平面； （2）求点E到平面的距离. 19. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为，． （1）当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围． 20. 已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）已知、为椭圆的两焦点，若点P在椭圆上，且，求面积. 21. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，点是的中点. （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值. 22. 已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交曲线于两点. （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 重庆市第七中学校2023-2024学年度上期 高2025级期中考试数学试题 （满分150分，考试时问120分钠） 注意事项 1