辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

2023-2024学年度（上）沈阳市五校协作体期中考试 高二年级数学试卷 试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1-12题60分）；第二部分：非选择题型（13-22题90分） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 方程表示的曲线是 A. 一个圆和一条直线 B. 一个圆和一条射线 C 一个圆 D. 一条直线 2. 已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“圆与圆相切”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在四面体中，，分别是，的中点，为上一点，且，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 直线过点且与椭圆相交于，两点，若点为弦的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8 8. 正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过点，在轴上的截距与在轴上的截距相等的直线有两条 B. 过点作圆的切线，切线方程为 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 直线的一个方向向量为 10. 已知椭圆分别为它的左、右焦点，为椭圆的左、右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，则下列结论中正确的有（ ） A. 的周长为20 B. 若，则的面积为9 C. 为定值 D. 直线与直线斜率的乘积为定值 11. 若实数x，y满足曲线C：，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 直线与曲线C恰有1个交点，则实数 D. 曲线C上有4个点到直线的距离为1. 12. 如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－的表面上一个动点，则（ ） A. 当P在平面上运动时，四棱锥P－的体积不变 B. 当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是[，] C. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为 D. 若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面时，PF长度的最小值是 第Ⅱ卷（非选择题90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若坐标原点O在方程所表示的圆的外部，则实数m的取值范围为______． 14. 已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A(3，2)，B(a，-1)，且l1与l垂直，直线l2:4x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于_____. 15. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为______． 16. 已知椭圆为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且． （1）证明：面； （2）求点到平面距离； 18. 已知圆E经过点，，圆E恒被直线平分； （1）求圆E的方程； （2）过点的直线l与圆E相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程． 19. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值． 20. 已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点. （1）求的方程； （2）记为坐标原点，求面积的最大值. 21. 如图1，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. （1）求证：； （2）在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 22. 已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的一个端点为，内切圆的半径为，设过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，. （