2023年九年级中考数学复习 四大最值模型

四大最值模型 模型1 “胡不归”模型 模型故事 从前,有个小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即启程赶路.由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了路径AB,但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素.当他赶到家时,老人刚刚咽气.邻居告诉说,老头弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不?.…” 而如果先沿着驿道AC走一段,再走砂砾地,会不会更早些到家?在这个问题中,由于这个小伙子在驿道和砂砾地带上前行的速度不同,那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后,再走砂砾地带?虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了,请问如何确定这个点呢? 模型展现 基础模型 已知:点A为直线l上一定点,点B为直线外一定点,点P在直线l上运动 问题:如何确定点P,使得kAP+BP(0<k<1)的值最小 怎么用? 1．找模型 直线上一定点A ,一动点P，B为直线外一点,求 kAP+BP的最小值 2.用模型 构造直角三角形,利用三角函数将含系数的线段进行转换,再根据垂线段最短化折为直,从而得到线段和最小值,最后运用锐角三角函数求解即可 模型分析 如图,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解， 该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下: 一找:找带有系数k的线段kAP; 二构:在点B异侧,构造以线段AP为斜边的直角三角形; ①以定点A为顶点作∠CAP ,使得sin∠PAC=h; ②过动点P作垂线构造Rt△PAC; 三转化:化折为直,将kAP转化为PC; 四求解:使得hAP+BP=PC+BP,利用“垂线段最短”转化为求BD的长度. 拓展延伸 熟记特殊角的锐角三角函数值，kAP+BP中系数k发生变化时,所构造的直角三角形也会 发生变化,同学们需要牢记特殊角度的正弦值：，，，， 例1如图， 在△ABC中，AC=6，∠A=30°，点D是AB边上一动点，（点拨：两定点A、C，动点D，含特殊角30°）则的最小值为_________（点拨：线段数量关系的最小值,考虑“胡不归”） 考什么? 直角三角形的性质,30°,60°角的锐角三角函数值,垂线段最短. 思路点拨 哪条线段带有系数,就以它为斜边构造直角三角形,使得其中一锐角的正弦值恰好与系数相等. 例2如图, 在平行四边形ABCD中,∠DAB=45°，（点拨：特殊角）AB=6，BC=2，P为CD边上的一动点，则（点拨：线段数量关系出现，且0＜k＜1，模型出现）的最小值为_____________ 考什么? 平行四边形的性质,直角三角形的性质,45°角的锐角三角函数值,垂线段最短。 实战实演 1、如图,在OABC中,AB=AC=8,tan4=/3 ,BELAC于点E,点D是线段BE上的一个动点，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 8 2、 如图,在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°， BC=10，AD⊥BC于点D，点M是AD上一点，则的最小值为__________ 3、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-1，0，B(3，0)，与y轴交于点C(0，-3) ，D为抛物线的顶点. (1)抛物线的解析式为_____________，顶点D的坐标为________________; (2)点M为y轴上的一个动点,连接AM,求的最小值。 模型2“阿氏圆”模型 模型故事 阿氏圆(阿波罗尼斯圆) 阿波罗尼斯( Apollonius，约公元前262-190年)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名。他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。如图，已知平面上两定点A、B，则所有满足 （k>0且k≠1）的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 模型展现 基础模型： 已知：点P是半径为r的⊙0上的一动点, 点A，B为⊙0外两定点 问题：当r，k满足r=k·0A（0<k<1）时,求形如“kAP+BP”线段长度的最值 怎么用? 1.找模型平面上两点A，B，点P在圆上，求“kAP+BP"的最小值或“AP-kBP"的最大